Bilgi İçin Tıklayınız!
Şu an KozanBilgi.Net 'de 0 Üye 39 Misafir Bulunmaktadır. Buraya Tıklayarak Görebilirsiniz...
Anasayfan YapFavorilerine EkleE PostaPlayerHarita
KozanBilgi.Net - Türkiye'nin Bilgi Paylaşım Portalı
Bugün 29.07.2014 
          
Ana Sayfa
          
Forumlar
          
Yazılar
          
Resimler
          
Videolar
        
Kozan
          
Şiirler
          
Dosyalar
          
Hesabım
          
Gizlilik Bildirimi
          
Forum Kuralları
  Üyelik      Hatırla    Yeni Kayıt - Şifremi Unuttum -      Aklından Neler Geçiyor ? Canlı Destek
» Konu Açan sancakbeyi   
 KozanBilgi.Net Forumları
 Matematik - Bilim
       Belirsiz İntegral

BELIRSIZ INTEGRAL

 

 Tanım. f(x) fonksiyonu verildiğinde

 

            F′(x)=f(x)

 

bağıntısını sağlayan bir F(x) fonksiyonu varsa bu F(x) fonksiyonuna f(x) bir anti türevi denir.

Örnek. f(x)=2x fonksiyonun anti türevini bulalım.

 

            F(x)=x²

 

f in anti türevidir.

 

            F′(x)=2x=f(x)

 

bundan başka   G(x)=x²+2,   H(x)=x²-3

 

            G′(x)=2x   H′(x)=2x

 

görüldüğü gibi   G(x) ve H(x) fonksiyonlarıda f nin anti türevidir.

Geometrik olarak F, G, H fonksiyonlarının aynı x apsisli noktada çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir. Çünkü bu fonksiyonların hepsinin türevi 2x dir.

Teorem. I=(a,b) açık aralığında F′(x)=f(x) ise I üzerinde f in herhangi bir anti türevi, c keyfi bir sabit olmak üzere

 

            G(x)=F(x)+C

 

şeklindedir.  İspat.

 

              (G(x)-F(x))′ = G′(x)-F′(x)

             = f(x)-f(x)

             = 0

              G(x)-F(x)=C

              G(x)=F(x)+C

 

Tanım. f bir fonksiyonun türevi olsun.f nin tüm anti türevlerinin sınıfına f fonksiyonun x değişkenine göre belirsiz integrali denir.

 

            ∫f(x)dx

 

ile gösterilir. ∫ simgesine integralişareti,f(x) e integrand, x e de integrasyon değişkeni denir. O halde tanımdan

 

            ∫f(x)dx=F(x)+c

 

Sonuç olarak ∫f(x)dx integralini hesaplamak için f in anti türevlerinin sınıfını bulmak gerekir.

Örnek. ∫2xdx=x²+C

Örnek. ∫1dx=x+C

Şimdi bazı integrasyon formüllerini yazalım.

1. ∫u^{m}du=((u^{m+1})/(m+1))+C    (m≠-1)

2. ∫((du)/u)=ln(u)+C

3. ∫a^{u}du=((a^{u})/(ln a))+C   (a>0)

4. ∫e^{u}du=e^{u}+C

5. ∫sin(u)du=-cos u+C

6. ∫cos(u)du=sin u+C

7. ∫((du)/(sin²u))=-cot u+C

8. ∫((du)/(cos²u))=tan u+C

9. ∫((du)/(1+u²))=arctan u+C

10. ∫((du)/(√(1-u²)))=arcsin u+C

11. ∫sinh(u)du=cosh u+C

12. ∫cosh(u)du=sinh u+C

13. ∫((du)/(√(1+u²)))=ln(u+√(1+u²))+C

14. ∫((du)/(√(u²-1)))=ln(u+√(u²-1))+C

Örnek.

1. ∫x²dx=((x³)/3)++C

2. ∫sin xdx=cos x+C

3. ∫cos xdx=sin x+C

4. ∫((dx)/(cos²x))=∫sec²xdx=tan x+C

5. ∫((dx)/(sin²x))=∫csc²xdx=-cot x+C

6. ∫((dx)/(1+x²))=arctan x+C

7. ∫((dx)/(√(1-x²)))=arcsin x+C

 

            BELIRSIZ INTEGRALIN OZELLIKLERI

 

 

1. aR olmak üzere; ∫af(x)dx=a∫f(x)dx

2.-Sonlu sayıda terimlerin toplamından oluşan bir ifadenin integrali bu terimlerin ayrı ayrı integrallerinin toplamına eşittir. Yani;

 

            ∫[f(x)+g(x)]dx  = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

            ∫[f(x)+f(x)+...+f_{n}(x)]dx  = ∫f(x)dx+∫f(x)dx+...+∫f(x)dx

 

 Özellik 1ve 2 den a,bR olmak üzere

 

            ∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx

 

 integral bir lineer fonksiyondur.

Örnekler

1.

 

            ∫((4/(cos²x))+3e^{x}-(2/(1+x²)))dx=4tan x+3e^{x}-2arctan x+C

 

 2.

 

            ∫(((5x²-6x+3)/(√x))+(2/(√(1+x²))))dx  = ∫((5x²)/(√x))dx-∫((6x)/(√x))dx

              +∫(3/(√x))dx+∫(2/(√(1+x²)))dx

             = 5(2/5)x^{(5/2)}-6(2/3)x^{(3/2)}+6x^{(1/2)}

              +2ln(x+√(1+x²))+C

 

 3.

 

            ∫(3sinh x+2e^{x}+(5/(sin²x)))dx  = ∫3sinh xdx+∫2e^{x}dx+∫(5/(sin²x))dx

             = 3cosh x+2e^{x}-5cot x+C

 

 4.

 

            ∫(x+8^{x})dx  = ∫xdx+∫8^{x}dx

             = ((x)/6)+((8^{x})/(ln8))+C

 

 

            INTEGRAL ALMA YONTEMLERI

 

  Yukarıda türevden kalma basit bilgilerimizle bazı integralleri saptadık. Fakat genel olarak integral işareti altındaki fonksiyonun, hangi fonksiyonun türevi olduğunu görmek çok kolay olmayabilir.

Bunun için bazı metodlar geliştirilmiştir. Şimdi bunları görelim.

Değişken Değiştirme Metodu.

Ψ sürekli türevlere sahip bir fonksiyon olmak üzere x=Ψ(t) dönüşümü yapıldığında;

 

            [x=Ψ(t)dx=Ψ′(t)dt]

 

 

            ∫f(x)dx=∫f(Ψ(t))Ψ′(t)dt

 

 Yeni integral hesaplandıktan sonra t=Ψ¹(x) dönüşümü yapılarak tekrar x değişkenine dönülür. Bu yüzden Ψ fonksiyonu tersi olan bir fonksiyondur.

Örnekler.

1. ∫(1-4x)dx integralini hesaplayalım.

 

 

1-4x=tdt=-4dx           ,           dx=-((dt)/4)

 

            ∫(1-4x)dx  = -(1/4)∫tdt

             = -(1/(28))t+C

             = -(1/(28))(1-4x)+C

 

 2. ∫e^{ax}dx integralini hesaplayalım.

 

 

t=axdt=adx     ,           dx=(1/a)dt

 

            ∫e^{ax}dx  = ∫e^{t}((1/a)dt)

             = (1/a)∫e^{t}dt

             = (1/a)e^{t}+C

             = (1/a)e^{ax}+C

 

 3. ∫(((4+ln x))/x)dx integralini hesaplayalmç.

 

 

4+ln x=t                      ((dx)/x)=dt

 

            ∫(((4+ln x))/x)dx  = ∫tdt

             = ((t)/6)d+C

             = (((1+4ln x))/6)+C

 

 4. ∫((e^{√x})/(√x))dx integralini hesaplayalım

 

 

t=√x     ⇒         dt=(1/(2√x))dx ⇒         2dt=((dx)/(√x))

 

            ∫((e^{√x})/(√x))dx  = 2∫e^{t}dt

             = 2e^{t}+C

             = 2e^{√x}+C

 

 5. ∫((x)/(1+x¹))dx integralini hesaplayalım.

 

 

t=x      ⇒         dt=5xdx          ⇒         ((dt)/5)=xdx

 

            ∫((x)/(1+x¹))dx  = ∫(1/(1+t²))(((dt)/5))

             = (1/5)∫(1/(1+t²))dt

             = (1/5)arctan t+C

             = (1/5)arctan x+C

 

 6. ∫tan xdx integralini hesaplayalım.

 

 

t=cos x            dt=-sin xdx

 

            ∫tan xdx  = ∫((sin x)/(cos x))dx

             = ∫((-dt)/t)

             = -ln|t|+C

             = -ln|cos x|+C

 

 7. ∫cot xdx integralini hesaplayalım.

 

 

t=sin x             dt=cos xdx

 

            ∫cot xdx  = ∫((cos x)/(sin x))dx

             = ∫((dt)/t)

             = ln|t|+C

             = ln|sin x|+C

 

 Bir diğer özellik ise

 

            ∫[f(x)]ⁿf′(x)=(([f(x)]ⁿ¹)/(n+1))+C

 

 dir.Şimdi bununla ilgili örnekler verelim.

Örnekler.

1. ∫sin¹xcos xdx integralini hesaplayalım.

 

 

t=sin x             dt=cos xdx

 

            ∫sin¹xcos xdx  = ∫t¹dt

             = ((t¹¹)/(11))+C

             = ((sin¹¹x)/(11))+C

 

 2. ∫(((ln x+5))/x)dx integralini hesaplayaım.

 

 

t=ln x+5                      dt=((dx)/x)

 

            ∫(((ln x+5))/x)dx  = ∫tdt

             = ((t)/6)+C

             = (((ln x+5))/6)+C

 

 3. ∫√(cosx)sin xdx integralini hesaplayalım.

 

 

t=cos x            dt=-sin xdx

 

            ∫√(cosx)sin xdx  = ∫-t^{(7/2)}dt

             = -(2/9)t^{(9/2)}+C

             = -(2/9)cos^{(9/2)}x+C

 

 4. ∫((e^{x})/(1+e^{x}))dx integralini hesaplatalım.

 

 

t=1+e^{x}                  dt=e^{x}dx

 

            ∫((e^{x})/(1+e^{x}))dx  = ∫((dt)/t)

             = ln|t|+C

             = ln|1+e^{x}|+C

 

 5. ∫((sin x-cos x)/(cos x+sin x))dx integralini hesaplayalım.

 

 

t=cos x+sin x              dt=(-sin x+cos x)dx

 

            ∫((sin x-cos x)/(cos x+sin x))dx  = ∫((-dt)/t)

             = -ln|t|+C

             = -ln|cos x+sin x|+C

 

 6. ∫sin(ax)dx integralini hesaplayalım.

 

 

t=ax                dt=adx

 

            ∫sin(ax)dx  = (1/a)∫sin tdt

             = -(1/a)cos t+C

             = -(1/a)cos ax+C

 

 bu örnekden şu sonuç çıkartılabilir.

 

            ∫sin(ax)dx=-(1/a)cos ax+C

 

 aynı şekilde;

 

            ∫cos(ax)dx=(1/a)sin ax+C

 

 

            ∫e^{ax}dx=(1/a)e^{ax}+C

 

 ifadeleride elde edilebilir.

7. ∫((dx)/(x²+a²)) integralini hesaplayalım

Bu ifadede paydayı a² parantezine alırsak; ∫((dx)/(a²[1+((x/a))²])) integralini elde etmiş oluruz. Buradan;

 

 

t=(x/a)             dt=((dx)/a)

 

            ∫((dx)/(a²[1+((x/a))²])) = (1/(a²))a∫((dt)/(1+t²))

             = (1/a)arctan t+C

             = (1/a)arctan(x/a)+C

 

 bu örnek bize;

 

            ∫((dx)/(x²+a²))=(1/a)arctan(x/a)+C

 

 olduğunu gösterir.

8.

 

            ∫((dx)/(x²+25))=(1/5)arctan(x/5)+C

 

 9. ∫((dx)/(√(a²-x²)))=arcsin(x/a)+C olduğunu gösteriniz.

Paydayı a² parantezine alırsak; ∫((dx)/(a√(1-((x/a))²))) integralini elde etmiş oluruz. Buradan;

 

 

t=(x/a)             dt=((dx)/a)

 

            ∫((dx)/(a√(1-((x/a))²))) = ∫((dt)/(√(1-t²)))

             = arcsin t+C

             = arcsin(x/a)+C

 

 böylece ispat tamamlanmış olur.

10. ∫((dx)/(√(3-2x-x²))) integralini hesaplayalım.

 

            3-2x-x²=4-(1+x)²

 

 şeklinde ifade edebiliriz.

 

 

1+x=t              dx=dt

 

            ∫((dx)/(√(3-2x-x²))) = ∫((dx)/(√(4-(1+x)²)))

             = ∫((dt)/(√(2²-t²)))

             = arcsin(t/2)+C

             = arcsin((1+x)/2)+C

 

 11. ∫x²√(x-2)dx integralini hesaplayalım.

 

 

t=x-2dt=dx

x=t+2x²=t²+4t+4

 

            ∫x²√(x-2)dx  = ∫(t²+4t+4)t^{(1/2)}dt

             = ∫(t^{(5/2)}+4t^{(3/2)}+4t^{(1/2)})dt

             = (2/7)t^{(7/2)}+(8/5)t^{(5/2)}+(8/3)t^{(3/2)}+C

             = (2/7)(x-2)^{(7/2)}+(8/5)(x-2)^{(5/2)}+(8/3)(x-2)^{(3/2)}+C

 

 Bazı özel tipte integraller vardır ki,integrallere hangi değişken değiştirilmesi yapılacağı bellidir.

Şimdi bunlardan bazılarını inceleyelim.

1-√(a²-x²) den başka köklü ifade bulundurmayan fonksiyonların integralinde x=asin t değişken değiştirilmesi yapılırsa, trigonometrik fonksiyonların bir rasyonel ifadesinin integraline ulaşır.

Örnekler.

1. ∫((x+8)/(√(9-x²)))dx integralini hesaplayalım.

 

 

x=3sin tdx=3cos tdt

sin t=(x/3)t=arcsin(x/3)

 

            ∫((x+8)/(√(9-x²)))dx  = ∫(((3sin t+8))/(√(9-9sin²)t))3cos tdt

             = 3∫((3sin t+8)/(3cos t))3cos tdt

             = ∫(3sin t+8)dt

             = -3cos t+8t+C

             = -3cos(arcsin(x/3))+8arcsin(x/3)+C

 

 2. √(x²-a²)den başka ifade bulundurmayan fonksiyonların integralinde x=asec t,

 

            o<t<(π/2),(π/2)<t<π

 

 değişken değiştirmesini yapmak kolaylık sağlar.

Örnekler.

1. ∫((dx)/(x√(x²-9)))integralini hesaplayalım.

 

 

x=3sec tdx=3sec ttan tdt

sec t=(x/3)cos t=(3/x)

t=arccos(3/x)

 

            ∫((dx)/(x√(x²-9))) = ∫((3sec ttan tdt)/(3sec t3tan t))

             = (1/3)∫dt=(1/3)t+C

             = (1/3)arccos(3/x)+C

 

 3. √(a²+x²)den başka köklü ifade bulundurmayan fonksiyonların integralinde x=atan t, [-(π/2)<t<(π/2)] değişken değiştirilmesi yapılır.

Örnekler. 

1. ∫((dx)/(x²√(x²+4)))integralini heasplayalım.

[x=2tan tdx=2sec²tdt=2(1+tan²t)dt]

 

            ∫((dx)/(x²√(x²+4))) = ∫((2sec²tdt)/(4tan²t2sec t))=(1/4)∫((cos t)/(sin²t))dt=(1/4)∫sin²tcos tdt

             = (-(1/4))(1/(sin t))+C=(-(1/4))((√(x²+4))/x)+C

 

 4. √(ax+b)şeklindeki ifadeleri bulunduran fonksiyonların ifadelerinde ax+b=t^{p} değişken değiştirilmesyapılır.

Örnek. ∫(((1+x)^{(1/4)}+2)/((1+x)^{(1/6)}))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm. okek(4;6)=12 =p olduğundan;

 

 

t¹²=x+1dx=12t¹¹dt

(x+1)^{(1/4)}=t³,(x+1)^{(1/6)}=t²

 

            .∫(((1+x)^{(1/4)}+2)/((1+x)^{(1/6)}))dx  = ∫((t³+2)/(t²))12t¹¹

             = 12∫(t¹²+2t)dt

             = 12((t¹³)/(13))+24((t¹)/(10))+C

             = 12(((1+x)^{((13)/(12))})/(13))+((24)/(10))(1+x)^{((10)/(12))}+C

 

 5. Trigonometrik fonksiyonların rasyonel ifadesi olan fonksiyonların ifadesinde yarım açı dönüşümü denilen t=tan(x/2) değişken değiştirilmesi yapılabilir.

 

 

tan(x/2)=t(x/2)=arctan t

x=2arctan tdx=(2/(1+t²))dt

cos(x/2)=(1/(√(1+t²))),sin(x/2)=(t/(√(1+t²)))

 Trigonometrik ifadelerden biliyoruzki;

 

            sin x  = sin((x/2)+(x/2))=sin(x/2)cos(x/2)+cos(x/2)sin(x/2)

             = (t/(√(1+t²)))(1/(√(1+t²)))+(1/(√(1+t²)))(t/(√(1+t²)))

             = ((2t)/(1+t²))

 

 aynı şekilde;

 

            cos x  = cos((x/2)+(x/2))=cos(x/2)cos(x/2)-sin(x/2)sin(x/2)

             = 2cos²(x/2)-1

             = 2(1/(1+t²))-1

             = ((1-t²)/(1+t²))

 

 Örnek. ∫((1+sin x)/((1+cos x)sin x))dx integralini hesaplayalım.

 

 

sin x=((2t)/(1+t²)),       ,           cos x=((1-t²)/(1+t²))    ,           dx=(2/(1+t²))dt

 

            ∫((1+sin x)/((1+cos x)sin x))dx  = ∫((1+((2t)/(1+t²)))/((1+((1-t²)/(1+t²)))(((2t)/(1+t²)))))(2/(1+t²))dt

             = ∫((t²+2t+1)/((1+t²+1-t²)(2t)))2dt

             = (1/2)∫((t²+2t+1)/t)dt

             = (1/2)∫(t+2+(1/t))dt

             = (1/2)(((t²)/2)+2t+ln|t|)+C

             = (1/2)(((tan²(x/2))/2)+2tan(x/2)+ln|tan(x/2)|)+C

 

 Örnekler.

1.-∫((dx)/(3cos x+2sin x))integralini hesaplayalım

Çözüm.

 

            ∫((dx)/(3cos x+2sin x)) = ∫(((2/(1+t²))dt)/(3(((1-t²)/(1+t²)))+2(((2t)/(1+t²)))))

             = ∫((2dt)/(3-3t²+4t))

             = -2∫((dt)/(3t²-4t-3))

             = ((-2)/3)∫((dt)/((t-(2/3))²-((13)/9)))

             = ((-2)/3)∫(1/(u²-((13)/9)))du

             = ((-2)/3)(-(3/(13))√(13)arctanh(3/(13))u√(13))+C

             = (2/(13))√(13)arctanh(3/(13))(t-(2/3))√(13)+C

             = (2/(13))√(13)arctanh(1/(26))(6tan(1/2)x-4)+C

 

 2-∫((dx)/(2+sin x)) integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫((dx)/(2+sin x)) = ∫(((2/(1+t²))dt)/(2+(((2t)/(1+t²)))))

             = ∫((2dt)/(2t²+2t+2))

             = ∫((dt)/(t²+t+1))

             = ∫((dt)/((t+(1/2))²+(3/4)))

             = ∫(1/(u²+(3/4)))du

             = (2/3)√3arctan(2/3)u√3+C

             = (2/3)√3arctan(2/3)(t+(1/2))√3+C

             = (2/3)√3arctan(2/3)(tan(x/2)+(1/2))√3+C

 

 3-∫((dx)/(2+sin x-cos x)) integralini hesaplayalım.

4-∫((dx)/(5+3cos x)) integralini hesaplayalım.

 

            KISMİ İNTEGRASYON METODU

 

  u ve v x e bağlı iki fonksiyon;

 

            d(u,v)=udv+vdud(u,v)-vdu=udv

 

 İki taraftan integrala geçersek;

 

            uv-∫vdu=∫udv

 

 Kısmi integrasyon kullanırken aşağıdaki gözlemler kolaylık sağlar.

1-Eğer bir polinom ile bir üstel fonksiyon çarpımı varsa polinoma u, kalan kısma dv demek kolaylık sağlar.

 

Örnek. ∫xe^{5x}dx integralini hesaplayalım.

 

 

u=xdu=dx

dv=e^{5x}dxv=(1/5)e^{5x}

 

            ∫xe^{5x}dx  = (1/5)xe^{5x}-(1/5)∫e^{5x}dx

             = (1/5)xe^{5x}-(1/(25))e^{5x}+C

 

 2-Bir polinom ile bir trigonomekrik fonksiyonun çarpımının integralinde polinoma u, kalan kısma dv demek daha kolaydır.

 

Örnek. ∫xsin3xdx integralini hesaplayalım.

[

 

u=xdu=dx

dv=sin3xdxv=-(1/3)cos3x

]

 

            .∫xsin3xdx  = -(1/3)xcos3x+(1/3)∫cos3xdx

             = -(1/3)xcos3x+(1/9)sin3x+C

 

 3-İntegrali alınacak ifade logaritmik bir fonksiyonun çarpımı ise logaritmik fonksiyona u, kalan kısma dv demek kolaylık sağlar.

 

Örnek. ∫x³ln xdx integralini hesaplayalım.

 

 

u=ln xdu=(1/x)dx

dv=x³dxv=((x)/4)

 

            .∫x³ln xdx  = (1/4)xln x-(1/4)∫((x)/x)dx

             = (1/4)xln x-(1/(16))x+C

 

 Örnek. ∫ln xdx integralini hesaplayalım.

 

 

u=ln xdu=(1/x)dx

dv=dxv=x

 

            ∫ln xdx  = xln x-∫((dx)/x)

             = xln x-ln x+C

 

 Örnek. ∫(ln x)²dx=∫ln²xdx integralini hesaplayalım.

4-Ters trigonometrik fonksiyonda bu fonksiyona u, kalan kısmada dv demek kolaylık sağlar.(Tek bir fonksiyonun integrali içinde böyle düşünülebilir.)

 

Örnek. ∫arctan xdx integralini hesaplayalım.

 

 

u=arctan xdu=(1/(1+x²))dx

dv=dxv=x

 

            ∫arctan xdx  = xarctan x-∫(x/(1+x²))dx

             = xarctan x-(1/2)ln(1+x²)+C

 

 5-Bazı durumlarda integrali alınması istenilen ifade, eşitliğin sağ tarafında tekrar karşımıza çıkabilir.Bu durumda eşitliğin sol tarafına alıp devam edebiliriz.

Not. Üstel fonksiyonla trigonometrik fonksiyonun çarpımında üstel fonksiyona u, kalan kısma dv demek kolaylık sağlar.

Örnek. ∫e^{ax}cos bxdx integralini hesaplayalım.

 

 

u=e^{ax}du=ae^{ax}dx

dv=cos bxdxv=(1/b)sin bx

 

 

m=e^{ax}dm=ae^{ax}dx

dn=sin bxdxn=((-1)/b)cos bx

 

            ∫e^{ax}cos bxdx  = (1/b)e^{ax}sin bx-(a/b)∫e^{ax}sin bxdx

             = (1/b)e^{ax}sin bx-(a/b)[-(1/b)e^{ax}cos bx+(a/b)∫e^{ax}cos bxdx]

             = (1/b)e^{ax}sin bx+(a/(b²))e^{ax}cos bx-((a²)/(b²))∫e^{ax}cos bxdx

             = ((b²)/(a²+b²))[(1/b)e^{ax}sin bx+(a/(b²))e^{ax}cos bx]+C

             = ((e^{ax})/(a²+b²))[bsin bx+acos bx]+C

 

 Örnek. ∫e^{3x}cos7xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫e^{3x}cos7xdx  = ((e^{3x})/(9+49))[7sin7x+3cos7x]+C

             = ((e^{3x})/(58))[7sin7x+3cos7x]+C

              ∫e^{3x}cos7xdx

 

 Örnek. ∫e^{2x}sin(1/2)xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            .∫e^{2x}sin(1/2)xdx=((e^{2x})/(4+(1/4)))[(1/2)sin(1/2)x+2cos(1/2)x]+C

 

 Örnek. ∫((xe^{x})/((1+x)²))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

u=xe^{x}du=(e^{x}+xe^{x})dx

dv=(1/((^{1+x})²))dxv=-(1/(1+x))

 

            .∫((xe^{x})/((1+x)²))dx  = -(x/(1+x))e^{x}+∫(1/(1+x))e^{x}(1+x)dx

             = -(x/(1+x))e^{x}+e^{x}+C

             = e^{x}(-(x/(1+x))+1)+C

             = ((e^{x})/(1+x))+C

 

 Örnek. ∫√(x²+m)dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

u=√(x²+m)du=(x/(√(x²+m)))dx

dv=dxv=x

 

            ∫√(x²+m)dx  = x√(x²+m)-∫(x/(√(x²+m)))xdx

             = x√(x²+m)-∫((x²)/(√(x²+m)))dx

             = x√(x²+m)-∫((x²+m-m)/(√(x²+m)))dx

             = x√(x²+m)-∫((x²+m)/(√(x²+m)))dx-∫((-m)/(√(x²+m)))dx

             = x√(x²+m)-∫√(x²+m)dx+m∫(1/(√(x²+m)))dx

             = (1/2)[x√(x²+m)+mln(x+√(x²+m))]+C

             = (x/2)√(x²+m)+(m/2)ln(x+√(x²+m))+C

 

 Örnek. ∫x²e^{-x}dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

u=x²du=2xdx

dv=e^{-x}dxv=-e^{-x}

 

 

u=xdu=dx

dv=e^{-x}dxv=-e^{-x}

 

            .∫x²e^{-x}dx  = -x²e^{-x}+2∫xe^{-x}dx

             = -x²e^{-x}+2(-xe^{-x}+∫e^{-x}dx)

             = -x²e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C

             = -e^{-x}(x²+2x+2)+C

 

 Yukarıdaki yol izlenerek P_{m}(x), m inci dereceden polinom olmak üzere;

 

            ∫P_{m}(x)e^{x}dx  = e^{x}[P_{m}(x)-P_{m}′(x)+P_{m}′′(x)+...+(-1)^{m}P_{m}^{m}(x)]

             = ∑_{i=0}^{m}P_{m}(x)

 

 olduğu kolayca görülebilir.

Örnek. ∫(x³+2x)e^{3x}dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            .∫(x³+2x)e^{3x}dx  = e^{x}[x³+2x-3x²-2+6x]+C

             = e^{x}[x³-3x²+8x-2]+C

 

 

            INDIRGEME BAGINTILARI

 

      Kısmi integrasyon metodu kullanarak, yüksek dereceden bazı integral ifadeleri daha düşük dereceden ifadelerin integraline dönüştürülebilir. Bu da yüksek dereceli ifadelerin integralini almada kolaylık sağlar.

Örnek. ∫cosⁿxdx integrali için bir indirgeme bağıntısı bulunuz.

Çözüm. ∫cosⁿ¹xcos xdx ifadesini alalım.

 

 

u=cosⁿ¹xdu=-(n-1)cosⁿ²xsin xdx

dv=cos xdxv=sin x

 

            ∫cosⁿ¹xcos xdx  = sin xcosⁿ¹x+(n-1)∫cosⁿ²xsin xdxsin x

             = sin xcosⁿ¹x+(n-1)∫cosⁿ²xsin²xdx

             = sin xcosⁿ¹x+(n-1)∫cosⁿ²x(1-cos²x)dx

             = sin xcosⁿ¹x+(n-1)∫cosⁿ²xdx

              -(n-1)∫cosⁿxdx

             = ((sin xcosⁿ¹x)/n)+(((n-1))/n)∫cosⁿ²xdx

 

 Örnek. ∫cosxdx integralini yukarıdaki formüle göre hesaplayınız.

Çözüm.

 

            .∫cosxdx  = ((sin xcosxdx)/5)+(4/5)∫cos³xdx

             = ((sin xcosxdx)/5)+(4/5)[((sin xcos²x)/3)+(2/3)sin x]+C

             = ((sin xcosxdx)/5)+(4/(15))sin xcos²x+(8/(15))sin x+C

 

 


KozanBilgi.Net 'Türkiyenin Bilgi Paylaşım Portalı'

"Ne mutlu Türk'üm diyene"

False
sancakbeyi
Ulu Üye


Durumu Dışarıda
» Etiketler     belirsiz,İntegral,
» Benzer BaşlıklarHit...
“PKK Terörüyle Mücadelede Kararlılık-Siyaset-Strat
624
“Libya: Belirsiz bir gelecek, Libya Muharipleriyle
532
Irak’ta Seçim Süreci ve Belirsizlikler
122
Belirsiz Süreli İş Sözleşmesinde İhbar Süreleri
406
Belirsiz İntegral
5946
» Cevap Veren TurkesManga   

Örnek. n>1 olmak üzere ;

 

            ∫((dx)/(sinⁿx))

 

 integrali için bir indirgenme bağıntısı bulunuz.

Çözüm. ∫(1/(sinⁿ²))(1/(sin²x))dx ifadesi ele alalım.

[

 

u=(1/(sinⁿ²))du=(2-n)sin¹ⁿxcos xdx

dv=(1/(sin²x))dxv=-cot x

]

 

            ∫(1/(sinⁿ²))(1/(sin²x))dx  = -sin²ⁿxcot x

              -(n-2)∫(1/(sinⁿ¹x))cos x((cos x)/(sin x))dx

             = -sin²ⁿxcot x-(n-2)∫((cos²x)/(sinⁿx))dx

             = -sin²ⁿxcot x-(n-2)∫((1-sin²x)/(sinⁿx))dx

             = -sin²ⁿxcot x-(n-2)∫((dx)/(sinⁿx))

              +(n-2)∫((dx)/(sinⁿ²x))

             = -(1/(n-1))((cos x)/(sinⁿ¹x))+((n-2)/(n-1))∫((dx)/(sinⁿ²x))+C

 

 Not. n=1 için ∫((dx)/(sin x)) integrali elde edilir.

 

 

csc x+cot x=t              dt=-(csc²x+csc xcot x)dx

 

            ∫((dx)/(sin x)) = ∫csc xdx=∫((csc x(csc x+cot x))/((csc x+cot x)))dx

             = ∫((csc²x+csc xcot x)/((csc x+cot x)))dx

             = -∫((dt)/t)=-ln|t|+C

             = -ln|csc x+cot x|+C

 

 Örnek. ∫((dx)/(sinx)) integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫((dx)/(sinx)) = -(1/3)((cos x)/(sin³x))+(2/3)∫((dx)/(sin²x))

             = -(1/3)((cos x)/(sin³x))-(2/3)cot x+C

 

 Örnek. ∫tanⁿxdx integrali için bir indirgeme bulunuz.

Çözüm. n=1 için

 

            ∫tan xdx=-ln|cos x|+C

 

 olduğunu biliyoruz.

n>1 için

 

            ∫tanⁿxdx  = ∫tanⁿ²xtan²xdx

             = ∫tanⁿ²x(sec²x-1)dx

             = ∫tanⁿ²xsec²xdx-∫tanⁿ²xdx

             = ((tanⁿ¹x)/(n-1))-∫tanⁿ²xdx+C

 

 Örnek. ∫tanxdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫tanxdx  = ((tanx)/5)-∫tanxdx

             = ((tanx)/5)-[((tan³x)/3)-∫tan²xdx]

             = ((tanx)/5)-((tan³x)/3)+∫(sec²x-1)dx

             = ((tanx)/5)-((tan³x)/3)+∫sec²xdx-∫dx

             = ((tanx)/5)-((tan³x)/3)+tan x-x+C

 

 Örnek. ∫((dx)/((a²+x²)ⁿ)) integrali için bir indirgeme formülü bulunuz.

Çözüm. n=1 için

 

            ∫((dx)/(a²+x²))=(1/a)arctan(x/a)+C

 

 olduğunu biliyoruz.

n>1 için   ∫((dx)/((a²+x²)ⁿ¹)) integraline kısmi integrasyon uygulanırsa

 

 

u=(1/((a²+x²)ⁿ¹))du=(1-n)(a²+x²)ⁿ2xdx

dv=dxv=x

 

            ∫((dx)/((a²+x²)ⁿ)) = (x/((a²+x²)ⁿ¹))+2(n-1)∫((x²)/((a²+x²)ⁿ))dx

             = (x/((a²+x²)ⁿ¹))+2(n-1)∫((x²+a²-a²)/((a²+x²)ⁿ))dx

             = (x/((a²+x²)ⁿ¹))+2(n-1)∫((dx)/((a²+x²)ⁿ¹))

              -2a²(n-1)∫((dx)/((a²+x²)ⁿ))

            2a²(n-1)∫((dx)/((a²+x²)ⁿ)) = (x/((a²+x²)ⁿ¹))+(2n-3)∫((dx)/((a²+x²)ⁿ¹))

             = (1/(2a²(n-1)))(x/((a²+x²)ⁿ¹))

              +(((2n-3))/(2a²(n-1)))∫((dx)/((a²+x²)ⁿ¹))

 

 Örnek. ∫((dx)/((9+x²)²)) integralini hesaplayalım.

Çözüm

 

            ∫((dx)/((9+x²)²)) = (1/(18.1))(x/((9+x²)))+(1/(18.1))∫((dx)/((9+x²)))

             = (1/(18))(x/((9+x²)))+(1/(18))((1/3)arctan(x/3))+c

 

 Örnek. ∫((dx)/((4x²+4x+10)²)) integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

t=2x+1            dt=2dx

 

            ∫((dx)/((4x²+4x+10)²)) = ∫((dx)/(((2x+1)²+9)²))

             = (1/2)∫((dt)/((t²+9)²))

             = (1/2)[(1/(18))(t/(t²+9))+(1/(18))∫((dt)/(t²+9))]

             = (1/(36))((2x+1)/((2x+1)²+9))+(1/(36))[arctan((2x+1)/3)]+C

 

 Aşağıdaki İndirgenme formüllerinin Doğruluğunu Araştırınız

 

a. ∫sinⁿxdx=(1/n)sinⁿ¹x.cos x+((n-1)/n)∫sinⁿ²dx

b. ∫((dx)/(cosⁿx))=(1/(n-1)).((sin x)/(cosⁿ¹x))+((n-2)/(n-1))∫((dx)/(cosⁿ²x))  n>1

c. ∫cotⁿdx=-(1/(n-1))cotⁿ¹x-∫cotⁿ²xdx,  n>1

d. ∫((cosⁿx)/(sin x))dx=(1/(n-1))cosⁿ¹x+∫((cosⁿ²x)/(sin x))dx

e. ∫((sinⁿx)/(cos x))dx=-(1/(n-1))sinⁿ¹x+∫((sinⁿ²x)/(cos x))dx

f. ∫(a²-x²)ⁿdx=((x(a²-x²))/(2n+1))+((2na²)/(2n+1))∫(a²-x²)ⁿ¹dx

Örnek. ∫((dx)/((1+x²)²)) integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

x=tan tdx=(1+tan²t)dt

t=arctan x

 

            şekil4

 

 

            ∫((dx)/((1+x²)²)) = ∫(((1+tan²t)dt)/((1+tan²t)²))=∫((dt)/((1+tan²t)))

             = ∫((dt)/(sec²t))=∫cos²tdt

             = ∫((1+cos2t)/2)dt=(1/2)∫dt+(1/2)∫cos2tdt

             = (1/2)t+(1/2)(1/2)sin2t+C

             = (1/2)arctan x+(1/4)2sin tcos t+C

             = (1/2)arctan x+(1/4)2(x/(√(1+x²)))(1/(√(1+x²)))+C

             = (1/2)arctan x+(1/4)((2x)/(1+x²))+C

 

 

            BASIT KESIRLERE AYIRMA METODU

 

  R(x)=((a+ax+ax²+...+a_{n}xⁿ)/(b+bx+bx²+...+b_{n}xⁿ))   a_{n}≠0,b_{n}≠0

Şeklindeki iki polinomun bölümü şeklinde tanımlanan fonksiyona rasyonel fonksiyon denir.

Burada

 

            R(x)=((f(x))/(g(x)))

 

 yazarsak f(x) ve g(x) in ortak çarpamları olmadığı kabul edilir. Eğer n<N ise yani payın derecesi paydanın derecesinden küçük ise R(x) e tam(proper) dır denir. Eğer R(x) tam değilse yani n>N ise

 

            R(x)=((f(x))/(g(x)))=B(x)+((K(x))/(g(x)))

 

 şeklinde bir polinom ve bir tam rasyonel fonksiyon toplamı olarak yazılabilir.

Tabii bu pay paydaya bölünmek suretiyle yapılır. Amacımız tam rasyonel fonksiyonların paydasını n pozitif bir tam sayı olmak üzere lineer ve kuadratik çarpanların yani

 

            (ax+b)ⁿ,(axⁿ+bx+c)ⁿ

 

 şeklindeki daha basit kesirlerin bir toplamı ifade edebilmektedir.

Teorem. (Rasyonel Fonksiyonun Basit Kesirlere Ayrılması)

R(x) bir rasyonel fonksiyon

 

            g(x)=a(x-c)^{r}...(x-c_{k})^{r_{k}}.(x²+px+q)^{s}...(x²+p_{m}x+q_{m})^{s_{m}}

 

 Bu durumda R(x) her farklı lineer (x-c) çarpanına bir tanesi karşılık gelmek üzere

 

            ((A)/(x-c_{i}))+((A)/((x-c_{i})²))+...+((A_{r_{i}})/((x-c_{i})^{r_{i}}))

 

 şeklindeki terimlerden k tanesinin ve her farklı x²+p_{i}x+q_{i} kuadratik çarpanına bir tanesi gelmek üzere

 

            ((Bx+c)/(x²+p_{i}x+q_{i}))+((Bx+c)/((x²+p_{i}x+q_{i})²))+...((B_{s_{i}}x+c_{s_{i}})/((x²+p_{i}x+q_{i})^{s_{i}}))

 

 şeklindeki terimlerden m tanesinin toplamı olarak yazılabilir.

 

            A,...,A_{r_{i}},B_{s_{i}},...,B_{s_{i}},c_{1,...}c_{s_{i}}

 

 katsayıları reel sabitler olup R(x) tarafından tek türlü belirlenir.

Teorem.

 

            a+ax+ax²+...+a_{n}xⁿ=b+bx+bx²+...+b_{N}x^{N}   (<K1.1/>)

 

<K1.1 ilk="MATRIX" >

a_{n}≠0

b_{N}≠0

</K1.1>

 Örnek.

1. ∫((dx)/(x-1))=ln|x-1|+C

2. ∫((dx)/(2x-1))=(1/2)ln|x-1|+C

3. ∫((dx)/(x²-9)) integralini hesaplayalım.

Çözüm

 

            (1/(x²-9)) = (1/((x-3)(x+3)))

             = (A/(x-3))+(B/(x+3))

            1  = A(x+3)+B(x-3)

            1  = x(A+B)+3(A-B)

            A+B  = 0,3(A-B)=1

            A  = (1/6),B=-(1/6)

 

 

            ∫((dx)/(x²-9)) = ∫(((1/6))/(x-3))dx-∫((((-1)/6))/(x+3))dx

             = (1/6)∫((dx)/(x-3))-(1/6)∫((dx)/(x+3))

             = (1/6)ln|x-3|-(1/6)ln|x+3|+C

             = (1/6)ln|((x-3)/(x+3))|+C

 

 O halde bu tip integraller için şu bağıntı geliştirilebilir.

 

            ∫((dx)/((x-a)(x+a))) = (1/(2a))∫((dx)/(x-a))-(1/(2a))∫((dx)/(x+a))

             = (1/(2a))ln|((x-a)/(x+a))|+C

 

 Örnek. ∫((dx)/(a²-x²)) integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            (1/(a²-x²)) = (A/(a-x))+(B/(a+x))

            1  = A(a+x)+B(a-x)

            1  = x(A-B)+a(A+B)

            A-B  = 0,A+B=(1/a)

            A  = (1/(2a)),B=(1/(2a))

 

 

            ∫((dx)/(a²-x²)) = ∫(((1/(2a)))/(a-x))dx+∫(((1/(2a)))/(a+x))dx

             = (1/(2a))∫((dx)/(a-x))+(1/(2a))∫((dx)/(a+x))

             = -(1/(2a))ln|a-x|+(1/(2a))ln|a+x|+C

             = (1/(2a))ln|((a+x)/(a-x))|+C

 

 Örnek. ∫((2x+1)/((x-1)²))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ((2x+1)/((x-1)²)) = (A/(x-1))+(B/((x-1)²))

            2x+1  = A(x-1)+B

            2x+1  = Ax-A+B

            A  = 2,B-A=1

            A  = 2,B=2

 

 

            ∫((2x+1)/((x-1)²)) = ∫(2/(x-1))dx+∫(3/((x-1)²))dx

             = 2ln|x-1|+3(((-1)/(x-1)))+C

             = 2ln|x-1|-(3/(x-1))+C

 

 Örnek. ∫((-2x+4)/((1+x²)(x-1)²))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ((-2x+4)/((1+x²)(x-1)²)) = (A/(x-1))+(B/((x-1)²))+((Cx+D)/(1+x²))

            -2x+4  = A(x-1)(x²+1)+B(x²+1)+(Cx+D)(x-1)²

             = A(x³-x²+1)+B(x²+1)

              +C(x³-2x²+x)+D(x²-2x+1)

             = x³(A+C)+x²(-A+B-2C+D)

              +x(A+C-2D)-A+B+D

            A+C  = 0,  -A+B-2C+D=0,  A+C-2D=-2,  -A+B+D=4

            D  = 1,C=2,A=-2,B=1

 

 

            ∫((-2x+4)/((1+x²)(x-1)²)) = ∫((-2)/(x-1))dx+∫(1/((x-1)²))dx+∫((2x+1)/(x²+1))dx

             = -2ln|x-1|-(1/(x-1))+ln|x²+1|+arctan x+C

             = ln((x²+1)/((x-1)²))-(1/(x-1))+arctan x+C

 

 Örnek. ∫((2x-6x³+7x²-2x+2)/(x³-3x²+3x-1))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm. Payın derecesi büyük olduğundan bölme yaparız.Bölme yapıldıktan sonra

 

            ∫[2x+((x²-2)/((x-1)³))]dx=∫2xdx+∫((x²-2)/((x-1)³))dx

 

 ifadesi elde edilmiş olur.

 

            ((x²-2)/((x-1)³)) = (A/(x-1))+(B/((x-1)²))+(C/((x-1)³))

            x²-2  = A(x-1)²+B(x-1)+C

             = A(x²-2x+1)+B(x-1)+C

             = Ax²+(-2A+B)x+A-B+C

            A  = 1,B=2,C=-1

 

 

            ∫[2x+((x²-2)/((x-1)³))]dx  = ∫2xdx+∫((x²-2)/((x-1)³))dx

             = x²+∫((1/(x-1))+(2/((x-1)²))-(1/((x-1)³)))dx

             = x²+ln|x-1|-(2/(x-1))+(1/(2(x-1)²))+C

 

 Örnekler.

1. ∫((5x²+3)/((2x+1)(x²+4)))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫((5x²+3)/((2x+1)(x²+4)))dx  = ∫((1/(2x+1))+((-1+2x)/(x²+4)))dx

             = ∫(1/(2x+1))dx+∫((-1+2x)/(x²+4))dx

             = (1/2)ln|2x+1|-(1/2)arctan(x/2)+ln|x²+4|+C

 

 2. ∫((x²+1)/(2x²+5x-3))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫((x²+1)/(2x²+5x-3))dx  = ∫((1/2)-((10)/(7(x+3)))+(5/(14(2x-1))))dx

             = (1/2)x-((10)/7)ln(7x+21)+(5/(28))ln(28x-14)+C

 

 3. ∫(x/((x+1)²(x+2)²))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫(x/((x+1)²(x+2)²))dx  = ∫(-(1/((x+1)²))+(3/(x+1))-(2/((x+2)²))-(3/(x+2)))dx

             = (1/(x+1))+3ln(x+1)+(2/(x+2))-3ln(x+2)+C

 

 Aşağıdaki integralleri önce değişken değiştirme yöntemini kullanarak rasyonel fonksiyonların integraline çeviriniz,sonra çözünüz.

 

            TRİGONOMETRİK İNTEGRALLER

 

  ∫sin axsin bxdx, ∫sin axcos bxdx, ∫cos axcos bxdx tipindeki integralleri;

sin axsin bx=(1/2)[cos(a-b)x-cos(a+b)x]

sin axcos bx=(1/2)[sin(a+b)x+sin(a-b)x]

cos axcos bx=(1/2)[cos(a+b)x+cos(a-b)x]

bağıntılarından yararlanarak çözeriz.

Örnek. ∫sin3xsin5xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫sin3xsin5xdx  = (1/2)∫[cos(-2x)-cos8x]dx

             = (1/2)∫cos2xdx-(1/2)∫cos8xdx

             = (1/4)sin2x-(1/(16))sin8x+C

 

 Örnek. ∫sin xcos3xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫sin xcos3xdx  = (1/2)∫[sin4x+sin(-2x)]dx

             = (1/2)∫sin4xdx-(1/2)∫sin2xdx

             = -(1/8)cos4x+(1/4)cos2x+C

 

 Örnek. ∫cos5xcos7xdx integralini hesaplayınız.

Çözüm.

 

            ∫cos5xcos7xdx  = (1/2)∫[cos12x+cos(-2x)]dx

             = (1/2)∫cos12xdx+(1/2)∫cos2xdx

             = (1/(24))sin12x+(1/4)sin2x+C

 

 Örnekler.

1. ∫sin(x/2)cos((3x)/2)dx

2. ∫sin(2x+1)cos(4x+3)dx

 

 

∫sin^{m}xcosⁿxdx tipindeki integraller.

  Bu integrallerde;

 

            {<K1.1/>}

 

<K1.1 ilk="MATRIX" >

m tek ise t=cos x

n tek ise t=sin x

</K1.1>

 dönüşümü uygulanarak integral çözülür.

Örnek. ∫sinxcosxdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

 t=cos x                      dt=-sin xdx

 

            ∫sinxcosxdx  = -∫sinxcosxsin xdx

             = -∫(1-cos²x)²cosxsin xdx

             = -∫(1-t²)²tdt

             = -∫(1-2t²+t)tdt

             = -∫(t-2t+t)dt

             = -((t)/5)+((2t)/7)-((t)/9)+C

             = -((cosx)/5)+(2/7)cosx-((cosx)/9)+C

 

 Örnek. ∫sin³xcos³xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

t=sin x             dt=cos xdx

 

            ∫sin³xcos³xdx  = ∫sin³xcos²xcos xdx

             = ∫sin³x(1-sin²x)cos xdx

             = ∫t³(1-t²)dt

             = ∫(t³-t)dt

             = (1/4)t-(1/6)t+C

             = (1/4)sinx-(1/6)sinx+C

 

 Örnek. ∫sinxdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

t=cos x            dt=-sin xdx

 

            ∫sinxdx  = ∫sinxsin xdx

             = -∫(1-cos²x)²dt

             = -∫(1-t²)²dt

             = -∫(1-2t²+t)dt

             = -t+(2/3)t³-((t)/5)+C

             = -cos x+(2/3)cos³x-((cosx)/5)+C

 

 Örnek.∫sin^{(5/3)}xcos³xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

t=sin x             dt=cos xdx

 

            ∫sin^{(5/3)}xcos³xdx  = ∫sin^{(5/3)}xcos²xcos xdx

             = ∫sin^{(5/3)}x(1-sin²x)cos xdx

             = ∫t^{(5/3)}(1-t²)dt

             = (t^{(5/3)}-t^{((11)/3)})dt

             = (3/8)t^{(8/3)}-(3/(14))t^{((14)/3)}+C

             = (3/8)sin^{(8/3)}t-(3/(14))sin^{((14)/3)}t+C

 

 

 

∫tan^{m}xsecⁿxdx tipindeki integraller

  Bu tip integraller m veya n nin çift ya da tek oluşuna göre hesaplanır.

a.n çift olması durumunda

 

            {<K1.1/>}

 

<K1.1 ilk="MATRIX" >

1+tan²x=sec²x

d(tan x)=sec²xdx

</K1.1>

 eşitliklerinden yaralanılarak integral hesaplanır.

Örnek. ∫tan²xsecxdx integralini hesaplayalım.

Çözüm. [t=tan xdt=sec²xdx]

 

            ∫tan²xsecxdx  = ∫tan²xsec²xsec²xdx

             = ∫tan²x(1+tan²x)sec²xdx

             = ∫t²(1+t²)dt

             = ∫(t²+t)dt

             = ((t³)/3)+((t)/5)+C

             = ((tan³x)/3)+((tanx)/5)+C

 

 Örnek. ∫sec²xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

t=tan x            dt=sec²xdx

 

            ∫sec²xdx=tan x+C

 

 Örnek. ∫tanxsecxdx integralini hesaplayalım.

b. m tek ise

 

            tan²x  = sec²x-1

            d(sec x) = sec xtan xdx

 

 eşitliklerinden faydanılarak integral çözülür.

Örnek. ∫tanxsec³xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

t=sec x            dt=sec xtan xdx

 

            ∫tanxsec³xdx  = ∫tanxsec²xsec xtan xdx

             = ∫(sec²x-1)²sec²xsec xtan xdx

             = ∫(t²-1)²t²dt

             = ∫(t-2t²+1)t²dt

             = ∫(t-2t+t²)dt

             = ((t)/7)-(2/5)t+((t³)/3)+C

             = (1/7)secx-(2/5)secx+(1/3)sec³x+C

 

 Yukarıdaki iki durum da söz konusu değilse, yani n tek ve m çift ise

 

            tan²x=sec²x-1

 

 eşitliğinden yararlanılarak integral sec x in tek kuvvetleri cinsinden elde edilir. O halde sec x in tek kuvvetleri nasıl hesaplanabilir sorusunu cevaplamamız gerekir.

Örnek. ∫sec xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

t=sec x+tan x              dt=(sec²x+tan xsec x)dx

 

            ∫sec xdx  = ∫((sec x(sec x+tan x))/(sec x+tan x))dx

             = ∫(((sec²x+tan xsec x)dx)/(sec x+tan x))

             = ∫((dt)/t)

             = ln|t|+C

             = ln|sec x+tan x|+C

 

 1. n>1 için ∫secⁿxdx integrali için bir indirgeme formülü elde edelim.

 

            ∫secⁿ²xsec²xdx

 

 ifadesinde kısmi integrasyon uygulanırsa

 

 

u=secⁿ²xdu=(n-2)secⁿ³xsec xtan xdx

dv=sec²xdxv=tan x

 

            ∫secⁿxdx  = secⁿ²xtan x-(n-2)∫secⁿ²xtan²xdx

             = secⁿ²xtan x-(n-2)∫secⁿ²x(sec²x-1)dx

             = secⁿ²xtan x-(n-2)∫(secⁿx-secⁿ²x)dx

             = secⁿ²xtan x-(n-2)∫secⁿxdx+(n-2)∫secⁿ²xdx

            (n-1)∫secⁿxdx  = secⁿ²xtan x+(n-2)∫secⁿ²xdx

             = ((secⁿ²xtan x)/((n-1)))+(((n-2))/((n-1)))∫secⁿ²xdx

 

 Örnek. ∫sec³xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫sec³xdx  = ((sec xtan x)/2)+(1/2)∫sec xdx

             = ((sec xtan x)/2)+(1/2)ln|sec x+tan x|+c

 

 Örnek. ∫secxdx integralini hesaplatalım.

Çözüm.

 

            ∫secxdx  = ((sec³xtan x)/4)+(3/4)∫sec³xdx

             = ((sec³xtan x)/4)+(3/4)[((sec xtan x)/2)+(1/2)ln|sec x+tan x|]+C

 

 Örnek. ∫tan²xsec xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫tan²xsec xdx  = ∫(sec²x-1)sec xdx

             = ∫sec³xdx-∫sec xdx

             = ((sec xtan x)/2)+(1/2)ln|sec x+tan x|-ln|sec x+tan x|+C

 

 

 

∫cot^{m}xcscⁿxdxtipindeki integraller

 Bu tip integrallerde de ∫tan^{m}xsecⁿxdx tipindeki integrallere uygulanan düşüncenin benzeri uygulanır.

Örnek. ∫cotxcsc²xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

 t=cot x                       dt=-csc²xdx

 

            ∫cotxcsc²xdx  = -∫tdt

             = -((t)/5)+C

             = -((cotx)/5)+C

 

 Örnek.

1. ∫cotxcscxdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

 t=cot x                       dt=-csc²xdx

 

            ∫cotxcscxdx  = ∫cotxcsc²xcsc²xdx

             = ∫cotx(1+cot²x)csc²xdx

             = -∫t(1+t²)dt

             = -∫(t+t)dt

             = -(((t)/5)+((t)/7))+C

             = -(((cotx)/5)+((cotx)/7))+C

 

 2. ∫cot³xcsc³xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

t=cot x            dt=-csc²xdx

 

            ∫cot³xcsc³xdx  = ∫cot³xcsc xcsc²xdx

             = ∫(-t³√((1+t²)))dt

             = -(1/5)t²(√((1+t²)))³+(2/(15))(√((1+t²)))³+C

             = -(1/5)cot²x(√((1+(cot x)²)))³+(2/(15))(√((1+(cot x)²)))³+C

 

 Şimdi unuttuğumuz integrale dönelim. Yani

 

            ∫sin^{m}xcosⁿxdx

 

 tipindeki integrallerde üstlerden bir tanesinin tek olması durumunu görmüştük. Şimdi m ve n nin çift olması durumunu inceleyelim.

m ve n nin her ikiside çift ise

 

            cos²x=((1+cos2x)/2),   sin²x=((1-cos2x)/2)

 

 bağıntılarından faydanılarak integrali çözeriz.

Örnek. ∫sinxcos²xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫cos²2xdx=∫((1+cos4x)/2)dx=(1/2)∫(1+cos4x)dx=(1/2)(x+(1/4)sin4x)

 

 

 

2x=t                2dx=dt

 

            ∫cos³2xdx  = ∫cos²2xcos2xdx

             = (1/2)∫cos²tcos tdt

             = (1/2)∫(1-sin²t)cos tdt

             = (1/2)(sin t-((sin³t)/3))+C

             = (1/2)(sin2x-((sin³2x)/3))+C

 

 

            ∫sinxcos²xdx  = ∫(((1-cos2x)/2))²(((1+cos2x)/2))dx

             = (1/8)∫(1-cos2x)²(1+cos2x)dx

             = (1/8)∫(1-cos2x-cos²2x+cos³2x)dx

             = (1/8)[x-(1/2)sin2x-(1/2)x-(1/8)sin4x+(1/2)sin2x-(1/6)sin³2x]+C

 

 

 

∫R(sin x,cos x)dx tipindeki integraller

  Örnek.∫((sin³x)/(cos²x))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.[t=cos xdt=-sin xdx]

 

            ∫((sin³x)/(cos²x))dx  = ∫((sin²x)/(cos²x))sin xdx

             = ∫(((1-cos²x))/(cos²x))sin xdx

             = -∫(((1-t²))/(t²))dt

             = -∫t²dt+∫dt

             = (1/t)+t+c

             = (1/(cos x))+cos x+c

 

 Örnek.∫cos³xtanxdx integralini hesaplayalım.

Not.Yukarıdaki integrallerde R(-sin x,-cos x)=R(sin x,cos x) eşitliği gerçekleniyorsa tan x=t cot x=t dönüşümü yapılır.

Örnek.∫((dx)/(sin²xcosx)) integralini hesaplayalım.

Çözüm..∫((dx)/(sin²xcosx)) integralinde fonksiyonların eksilileri yazıldığında işaret değişmediğinden t=tan x dönüşümü yaparsak

 

            sin x=(t/(√(1+t²))),cos x=(1/(√(1+t²))),dx=(1/(1+t²))dt

 

 olup

 

            şekil5

 

 

            ∫((dx)/(sin²xcosx)) = ∫(((1/(1+t²)))/(((t²)/(1+t²))(1/((1+t²)²))))dt

             = ∫(((1+t²)²)/(t²))dt

             = ∫((1+2t²+t)/(t²))dt

             = ∫(1/(t²))dt+∫2dt+∫t²dt

             = -(1/t)+2t+((t³)/3)+c

             = -(1/(arctan x))+2arctan x+((arctan³x)/3)+c

 

 

            IRRASYONEL FONKSIYONLARIN INTEGRALI

 

 

 

1. ∫((dx)/(√(ax²+bx+c))) integrali

 b²-4ac>0 ve a<0 ise k bir sabit,u bir lineer ifade olmak üzere;

 

            ∫((du)/(√(k²-u²)))=arcsin(u/k)+C

 

 ifadesinden integral hesaplanır.

    a>0 ise bu durumda;

 

            ∫((du)/(√(u²±p)))=ln(u+√(u²±p))+C

 

 eşitliğinden integral hesaplanır.

Örnek.∫((dx)/(√(-x²+2x+3))) integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            .∫((dx)/(√(-x²+2x+3))) = ∫((dx)/(√(3-(x-1)²+1)))

             = ∫((dx)/(√(4-(x-1)²)))

             = arcsin((x-1)/2)+C

 

 Örnek.∫((dx)/(√(4x²+4x+3))) integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ∫((dx)/(√(4x²+4x+3))) = ∫((dx)/(√((2x+1)²+2)))

             = (1/2)ln|(2x+1)+√((2x+1)²+2)|+C

 

 Ödev.∫((dx)/(√(2x²-3x+1))) integralini hesaplayalım.

 

 

 

2.∫((mx+n)/(√(ax²+bx+c)))dx şeklindeki integraller

 

Bu tip integraleri payı kök içinin türevi cinsinden ifade etmeye çalışarak çözebiliriz.Bu halde(1) tipinde bir integralede ulaşmış oluruz.

Örnek. ∫((3x+2)/(√(x²+4x1)))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            .∫((3x+2)/(√(x²+4x1)))dx  = 3∫((2(x+(2/3))+4-4)/(2√(x²+4x1)))

             = (3/2)∫((2x+(4/3)+4-4)/(√(x²+4x1)))

             = (3/2)2∫((2x+4)/(√(x²+4x1)))+(3/2)((-8)/3)∫((dx)/(√(x²+4x1)))

             = 3√(x²+4x1)-4∫((dx)/(√(x²+4x1)))

             = 3√(x²+4x1)-4ln|x+2+√(x²+4x1)|+C

 

 

 

3.∫((dx)/((mx+n)√(ax²+bx+c)))şeklindeki integraller

 .

 

Bu integralde u=(1/(mx+n)) dönüşümü yazarsak (2) tipinde bir integral elde edilir.

Örnek. ∫((dx)/((x-1)√(x²+3))) integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

u=(1/(x-1))du=-(1/((x-1)))dx

x=(1/u)+1dx=-(1/(u²))du

x²=((u²+2u+1)/(u²))x²+3=((4u²+2u+1)/(u²))

√(x²+3)=((√(4u²+2u+1))/u)

 

            ∫((dx)/((x-1)√(x²+3))) = ∫u((((-1)/(u²))du)/(((√(4u²+2u+1))/u)))

             = -∫((du)/(√(4u²+2u+1)))

             = -∫((du)/(√((2u+(1/2))²+(3/4))))

             = -(1/2)ln|2u+(1/2)+√(4u²+2u+1)|

             = -(1/2)ln|(2/(x-1))+(1/2)+(1/(x-1))√(x²+3)|+C

 

 

 

4.∫((P_{n}(x))/(√(ax²+bx+c)))dx şeklindeki integraller

 .

Bu integralde P_{n}(x) n. dereceden bir polinomdur.

λR ve ϑ_{n-1}(x) (n-1). dereceden bir polinom olmak üzere integrali aşağıdaki yolla hesaplarız.

 

            ∫((P_{n}(x))/(√(ax²+bx+c)))dx=ϑ_{n-1}(x)√(ax²+bx+c)+λ∫((dx)/(√(ax²+bx+c)))

 

 yazarız.Eşitliğin her iki tarafının x e göre türevini alıp aynı dereceli terimlerin katsayılarını eşitliyerek ϑ_{n-1}(x) in katsayıları ve λ sabiti belirleriz. En sonda (1) tipinde bir integral elde ederiz.

Örnek. ∫((x²)/(√(1-x²)))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            ((x²)/(√(1-x²))) = A√(1-x²)+(((-2x)/(2√(1-x²))))(Ax+B)+λ(1/(√(1-x²)))

            x² = A(1-x²)-Ax²-Bx+λ

            A  = -(1/2),B=0,λ=(1/2)

 

 

            .∫((x²)/(√(1-x²)))dx=(Ax+B)√(1-x²)+λ∫((dx)/(√(1-x²)))

 

 bulduğumuz bu değerleri yukarıdaki ifadede yerine koyarsak;

 

            ∫((x²)/(√(1-x²)))dx  = -(1/2)x√(1-x²)+(1/2)∫((dx)/(√(1-x²)))

             = -(1/2)x√(1-x²)+(1/2)arcsin x+C

 

 

 

5.∫((dx)/((x-p)ⁿ√(ax²+bx+c))) tipindeki integraller

  Bu tip integrallerde

 

            <K1.1/>

 

<K1.1 ilk="MATRIX" >

(1/(x-p))=tx=p+(1/t)

dx=-(1/(t²))dt

</K1.1>

 dönüşümü yaparak integralin hesabı önceki tipteki integralin hesabına indirgenmiş olur.

Örnek. ∫((dx)/((x-1)²√(x²+2x-2))) integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

(1/(x-1))=t                  x=(1/t)+1         ⇒         dx=-(1/(t²))dt

 

            ∫((dx)/((x-1)²√(x²+2x-2))) = ∫t²((-(1/(t²))dt)/(((√(t²+4t+1))/t)))

             = -∫(t/(√(t²+4t+1)))dt

             = -∫(t/(√(t²+4t+1)))dt

             = A√(t²+4t+1)+λ∫((dt)/(√(t²+4t+1)))

             = (t/(√(t²+4t+1)))

             = A(((2t+4)/(2√(t²+4t+1))))+λ(1/(√(t²+4t+1)))

 

 

 

t=At+2A+λ     ⇒         A=1     ,           λ=-2

 

            ∫(t/(√(t²+4t+1))) = √(t²+4t+1)-2∫((dt)/(√(t²+4t+1)))

             = √(t²+4t+1)-2∫((dt)/((t-1)²-3))

             = √(t²+4t+1)-2ln|t+2+√(t²+4t+1)|

             = (1/(x-1))√(x²+2x-2)-ln|(1/(x-1))+2+(1/(x-1))√(x²+2x-2)|+C

 

 

            


KozanBilgi.Net 'Türkiyenin Bilgi Paylaşım Portalı'

Resimler Sadece üyeler içindir!

"Bende bir elma, Sende de bir elma varsa;
Ben sana bir elma verirsem, Sen de bana bir elma verirsen:
İkimizin de de birer elması olur.
Fakat, bende bir bilgi, Sende bir bilgi varsa;
Ben sana bir bilgi verirsem, Sen de bana bir bilgi verirsen:
Bende iki bilgi, Sende de iki bilgi olur!" [Konfiçyüs]

 

BİZ BATIDA ÇOCUKLARIMIZ İÇİN SAVAŞIRKEN,
BAZILARI DOĞUDA BİZİMLE SAVAŞSIN DİYE ÇOCUK YAPIYOR!..
BU ÜLKEYİ UCUZA ALMADIK BEDAVAYA DA VERMEYİZ !

 

TurkesManga
Site Kurucusu,
Gnl. Yayın Yönetmeni


Durumu Dışarıda
» Cevap Veren TurkesManga   

BINOMINTEGRALI

 

 

∫x^{r}(a+bx^{A})^{q}dx(a,bR,p,q,rQ) tipindeki integrallere binom integrali denir. Aşağıdaki şekilde hesaplanır.

(a) Q tam sayı olmak ise r ve p nin paydalarının okeki k olmak üzere x=t^{k} değişken değiştirmesi yapılarak integral hesaplanır.

Örnek. ∫x^{(1/3)}(1+2√x)²dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

q=2Z olup okek(2,3)=6=k

x=t⁶⇒x^{(1/3)}=(t)^{(1/3)}=t²

x^{(1/2)}=t³dx=6tdt

x^{(8/6)}=(t)^{(8/6)}=t

 değişken değiştirmesi yaparsak;

 

            ∫t²(2+2t³)²6tdt  = ∫6t(1+4t³+4t)dt

             = (6/8)t+((24)/(11))t¹¹+((24)/(14))t¹+C

 

 (b) q tam sayı değil fakat ((r+1)/p) tamsayı ise q nun paydası n olmak üzere

 

            a+bx^{p}=tⁿ

 

 dönüşümü yapılarak integral hesaplanır.

Örnek. ∫((√(1+[3]√(x)))/([3]√(x²)))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

q=(1/2)Z         fakat    ((r+1)/p)=((-(2/3)+1)/((1/3)))=1Z

 olduğundan

 

            1+[3]√(x) = t²[3]√(x)=t²-1x^{-(2/3)}=(t²-1)²

            x  = (t²-1)³dx=3(t²-1)²2tdt

 

 dönüşümü yapılarak

 

            I  = ∫(t²-1)²(t²)^{(1/2)}6t(t²-1)²

             = 6∫t²dt

             = 2t³+C

             = 2(1+[3]√(x))^{(3/2)}+C

 

 (c) q ve ((r+1)/p) tamsayı değil fakat ((r+1)/p)+q tamsayı ise q nun paydası n olmak üzere

 

            ax^{-p}+b=tⁿ

 

 dönüşümü yapılarak rasyonel fonksiyonun integraline ulaşılır.

Örnek. ∫√((x/(1-x³)))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

x³-1=t²x³=t²+1

x=(t²+1)^{-(1/3)}dx=-(1/3)(t²+1)^{-(4/3)}2tdt

 

            ∫√((x/(1-x³)))dx  = ∫x^{(1/2)}(1-x³)^{-(1/2)}dx

             = ∫(t²+1)^{-(1/6)}(1-(t²+1)¹)^{-(1/2)}(2/3)t(t²+1)^{((-4)/3)}dt

             = ((-2)/3)∫(t²+1)^{-(1/6)}(((t²)/(t²+1)))^{-(1/2)}t(t²+1)^{((-4)/3)}dt

             = ((-2)/3)∫(t²+1)^{-(1/6)}(t²+1)^{(1/2)}t(t²+1)^{((-4)/3)}t¹tdt

             = ((-2)/3)∫(t²+1)¹dt=((-2)/3)∫((dt)/(t²+1))

             = ((-2)/3)arctan t+C

             = ((-2)/3)arctan(x³-1)^{(1/2)}+C

 

 Not. İntegrant x ve √(ax²+bx+c) ifadesinin bir rasyonel ifadesi ise Euler dönüşümleri denilen aşağıdaki değişken değiştirilmesi yapılır.

a>0 ise √(ax²+bx+c)=t±x√a

c>0 ise √(ax²+bx+c)=tx±√c

ax²+bx+c=a(x-a)(x-b) ise √(ax²+bx+c)=(x-a)t

Buna göre integralleri karşılarında yazılı olan dönüşümlere göre hesaplalayınız.

a. ∫((dx)/(1+√(x²+2x-2))),√(x²+2x-2)=t-x

b. ∫((dx)/(x+√(x²-x+1))),√(x²-x+1)=tx-1

c. ∫((dx)/(√(1-x²)-1)),√(1-x²)=(x-1)t

d. ∫(((x+4)dx)/((x-1)(x+2)√(x²+x+1)))

 

            BELIRLIINTEGRAL

 

  Aralıkların Paeçalanması

Tanım. a=x<x<...<x_{n}=b olmak üzere;

 

            p={x,x,...,x_{n}}

 

 kümesine [a,b] aralığının bir parçalanması (veya bölüntüsü veya ayrışımı) denir.

 

            [x,x],[x,x],...,[x_{n-1},x_{n}]

 

 alt aralıklarına [a,b] aralığının p parçalanmasına karşılık gelen kapalı aralıkları adı verilir.

 

            (x,x),(x,x),...,(x_{n-1},x_{n})

 

 alt aralıklarına da [a,b]'nın p parçalanmasına karşılık gelen açık aralıkları adı verilir.

 

            Δx_{k}=x_{k}-x_{k-1}

 

 sayısına [x_{k-1},x_{k}] aralığının boyu ya da ölçüsü adı verilir.

P parçalanmasının normu (maximal çapı) alt aralıkların en büyük boylu olanı boyu şeklinde tanımlanır. Yani;

 

            P=max{Δx,Δx,...,Δx_{n}}

 

 şeklindedir. Eğer alt aralıkların boylarının hepsi birbirine eşit ise p parçalanmasına düzgün parçalanma adı verilir.

Not. Bir [a,b] aralığının sonsuz çoklukta parçalanması mevcuttur. Dolayısıyla bunlar karşılaştırılabilir.

Tanım. P ve P [a,b] aralığının herhangi iki parçalanması olsun. P₁⊂P ise P parçalanması ,P,den daha incedir denir.

Örnek. P={2,3,4},P={2,(5/2),3,(7/2),4}

 

            P = max{Δx_{k}:k=1}=1

            P = (1/2)

 

 P₁⊂P olup P,P den daha incedir.

Not. [a,b]aralığının P,P,...,P_{r} parçalanması için

 

            P₁⊂P₂⊂...P_{r}

 

 ise;

 

            PP≥...≥P_{r}

 

 dir. Yani parçalanma inceldikçe normu küçülür (büyümez) P→o oldukça n→∞ olur. Fakat n→∞ olması nı gerektirmez. n→∞P→o

Örnek. P={0,(1/2),1-((1/2))²,...,1-((1/2))^{k},...,1-((1/2))ⁿ¹,1}

P={0,1}

P={0,1-(1/2),1}={0,(1/2),1}

P₃₌{0,1-(1/2),1-((1/2))²,1}={0,(1/2),(3/4),1}

bu şekilde devam edilirse n→∞ dur. Fakat her n için P_{n}=(1/2)

Tanım. f:[a,b]→R sürekli bir fonksiyon P={x,x,...,x_{n}} [a,b]'nin bir parçalanması olsun.

 

            M_{k} = max{f(x):x_{k-2}≤x≤x_{k}}

            m_{k} = min{f(x):x_{k-1}≤x≤x_{k}}

 

 diyelim.

 

            A(f,P)=∑_{k=1}ⁿm_{k}Δx_{k}=(m(x-x)+m(x-x)+...+m_{n}(x_{n}-x_{n-1}))

 

 toplamına f nin P parçalanmasına karşılık gelen alt toplamı denir.

 

            U(f,P)=∑_{k=1}ⁿM_{k}Δx_{k}=(M(x-x)+M(x-x)+...+M_{n}(x_{n}-x_{n-1}))

 

 toplamına da f nin P parçalanmasına karşılık gelen üst toplamı denir.

Ayrıca x_{k}^{*}, [x_{k-1},x_{k}] aralığına ait herhangi bir nokta olmak üzere

 

            R(f,P)=∑_{k=1}ⁿf(x_{k}^{*})Δx_{k}

 

 toplamına da f nin P parçalanmasına karşılık gelen Reimann Toplamı denir.

 

              grafik1,2

              grafik3

 

 Örnek.f(x)=x² fonksiyonun

 

            P={1,(5/4),(3/2),(7/4),2}

 

 parçalanmasına karşılık gelen alt ve üst toplamları bulunuz.

Çözüm.

 

            grafik4

 

 olmak üzere;

 

            A(f,P) = ∑_{k=1}m_{k}Δx_{k}=m(x-x_{o})+m(x-x)

              +m(x-x)+m(x-x)

             = f(1)(1/4)+f((5/4))(1/4)+f((3/2))(1/4)+f((7/4))(1/4)

              1,968

 

 elde edilir.

 

            U(f,P) = ∑_{k=1}M_{k}Δx_{k}=M(x-x_{o})+M(x-x)

              +M(x-x)+M(x-x)

             = f((5/4))(1/4)+f((3/2))(1/4)+f((7/4))(1/4)+f(2)(1/4)

              2,718

 

 buradan görülür ki

 

            A(f,P)<S<U(f,P)

 

 Not. S:fonksiyonun eğrisi altında kalan alan(S, y=x² nin x=1 x=2 ve x ekseniyle sınırladığı alan)

 

            ALT ve UST INTEGRALLER

 

  Eğer f fonksiyonu x[a,b] için m≤f(x)≤M özelliğinde ise ve P[a,b] nin bir parçalanması ise

 

            m(b-a)≤A(f,P)≤U(f,P)≤M(b-a)

 

 dır.Çünkü P={x,x,...,x_{n}} [a,b] nin bir parçalanması olmak üzere

 

            k=1,2,..., için M_{k}≤M,m_{k}≥m

 

 olacağından;

 

            U(f,P) = ∑_{k=1}ⁿM_{k}Δx_{k}≤∑_{k=1}ⁿMΔx_{k}=M∑_{k=1}ⁿΔx_{k}

             = M(x-x+x-x+...+x_{n}-x_{n-1})

             = M(x_{n}-x)=M(b-a)

            A(f,P) = ∑_{k=1}ⁿm_{k}Δx_{k}≥m∑_{k=1}ⁿΔx_{k}=m(b-a)

 

 

 

 

 

{U(f,P):P, [a,b] nin bir ayrışımı} kümesi üstten sınırlı

 

 

{A(f,P):P,[a,b] nin bir ayrışımı} kümesi alttan sınırlı

 kümelerdir.

Tanım. f [a,b] kapalı ve sınırlı aralığında reel değerli bir fonksiyon olsun. f nin alt ve üst integralleri sırasıyla ∫_{a}^{b}f ve∫_{a}^{b}f şeklinde gösterilir ve aşağıdaki şekilde tanımlanırlar.

 

            ∫_{a}^{b}f  = sup{A(f,P):P,[a,b] nin bir ayrışımı}

            ∫_{a}^{b}f  = inf{U(f,P):P,[a,b] nin bir ayrışımı}

 

 {U(f,P)} ve {A(f,P)} kümeleri boş olmayan sınırlı kümeler olduklarından

 

            f:[a,b]→R

 

 fonksiyonunun alt ve üst sınırları daima mevcuttur.

 

            şekil

 

 Önteorem. P^{*},P nin bir inceltilmişi ise

 

            A(f,P)≤A(f,P^{*})≤U(f,P^{*})≤U(f,P)

 

 dir.

İspat. P={x,x,...,x_{n}} ve P^{*}=P{x^{*}}    (x^{*}≠x_{j},j=1,2,...) olsun. Bu durumda

 

            k x_{k-1} < x^{*}<x_{k}

            M_{k}¹ = sup{f(x):x[x_{k-1},x^{*}]}

            M_{k}² = sup{f(x):x[x^{*},x_{k}]}

 

 x[x_{k-1},x_{k}] için f(x)≤M_{k} olduğundan x[x_{k-1},x^{*}]

x[x^{*},x_{k-1}] için f(x)≤M_{k} dir. Böylece M_{k}¹≤M_{k} ve M_{k}²≤M_{k} olduğunu söyleyebiliriz. Şimdi;

 

            U(f,P)=∑_{j=1}^{k-1}M_{j}Δx_{j}+M_{k}¹(x^{*}-x_{k-1})+M_{k}²(x_{k}-x^{*})+∑_{j=k+1}ⁿM_{j}Δx_{j}

 

 dir. Fakat M_{k}¹(x^{*}-x_{k-1})+M_{k}²(x_{k}-x^{*})≤M_{k}Δx_{k} olup bu yüzden;

 

            U(f,P^{*}) = ∑_{j=1}^{k-1}M_{j}Δx_{j}+M_{k}¹(x^{*}-x_{k-1})+M_{k}²(x_{k}-x^{*})+∑_{j=k+1}ⁿM_{j}Δx_{j}

             ≤ ∑_{j=1}^{k-1}M_{j}Δx_{j}+M_{k}Δx_{k}+∑_{j=k+1}ⁿM_{j}Δx_{j}=∑_{j=1}ⁿM_{j}Δx_{j}=U(f,P)

 

 elde edilir. Alt toplam için ispat benzer şekilde yapılır.

 

            şekil

 

 Eğer P^{*} ayrışımı r, P ayrışımında r tane farklı nokta bulunduruyorsa da yukarıda yaptığımız işlemleri, r kez benzer mantıkla tekrarlarız.

Teorem. f,[a,b] üzerinde sınırlı reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu durumda

 

            ∫_{a}^{b}f≤∫_{a}^{b}f

 

 dir.

İspat. P ve T [a,b] nin herhangi iki ayrışımı olsun.

 

            A(f,P)≤A(f,PT)≤U(f,PT)≤U(f,T)

 

 dir. Böylece herhangi P,T ayrışımı için;

 

            A(f,P)≤U(f,T)

 

 elde ederiz.Buradan da herhangi T ayrışımı için;

 

            ∫_{a}^{b}f=sup_{p}A(f,P)≤U(f,T)

 

 elde edilir. Yani;

 

            ∫_{a}^{b}f=sup_{P}A(f,P)≤inf_{T}U(f,T)=∫_{a}^{b}f

 

 T üzerinde infimuma geçerek sonucu elde ederiz.

 

            RIEMANN INTEGRALI

 

  f:[a,b]→R sınırlı ise f nin [a,b] üzerinde alt ve üst integralleri vardır.

 

            ∫_{a}^{b}f≤∫_{a}^{b}f

 

 sağlanır.

Tanım. f, kapalı sınırlı [a,b ] aralığı üzerinde sınırlı reel değerli bir fonksiyon olsun. Eğer;

 

            ∫_{a}^{b}f=∫_{a}^{b}f

 

 ise f [a,b] üzerinde Riemann integrallenebilirdir denir. Bu integraller değeri de ∫_{a}^{b}f veya ∫_{a}^{b}f(x)dx şeklinde gösterilir. [a,b] üzerinde Riemann integrallenebilir fonksiyonların kümesi R[a,b] ile gösterilir. Ek olarak fR[a,b] ise;

 

            ∫_{b}^{a}=-∫_{a}^{b}f

 

 şeklinde tanımlarız.

    Eğer f:[a,b]→R fonksiyonu m≤f(x)≤M    x[a,b] özelliğinde ise

 

            m(b-a) ≤ A(f,P)≤U(f,P)≤M(b-a)

            m(b-a) ≤ ∫_{a}^{b}f≤∫_{a}^{b}f≤M(b-a)

 

 dır. Eğer fR[a,b] ise de;

 

            m(b-a)≤∫_{a}^{b}f≤M(b-a)

 

 dır. Özel olarak x[a,b] için f(x)≥0 ise ∫_{a}^{b}f≥0 dır. Eğer fR[a,b] non negatif ise ∫_{a}^{b}f ifadesi y=f(x) eğrisi,x ekseni, x=a ve x=b doğruları ile sınırlı olanı temsil eder.

 

            şekil

 

 Örnekler(Dirichlet Fonksiyonu).

 

            f(x)={<K1.1/>

 

<K1.1 ilk="MATRIX" >

1          ,           xQ

0          ,           xQ

</K1.1>

 herhangi bir kapalık aralık üzerinde R integrallenemez olduğunu gösteriniz.

Çözüm. a<b olsun. P={x,x,...,x_{n}} [a,b] aralığının bir parçalanması olsun. m_{k}=0 ve M_{k}=1 dir. (k=1,2,...) Böylelikle herhangi bir P parçalanması için

 

            A(f,P)=0   U(f,P)=b-a

 

 olur. Bu yüzden;

 

            ∫_{a}^{b}f=0   ∫_{a}^{b}f=b-a

 

 olup bu da f nin [a,b] üzerinde R integrallenemez olduğunu gösterir.

 

            şekil

 

 

 

M_{k}=sup{f(x):x[x_{k-1},x_{k}]}

m_{k}=inf{f(x):x[x_{k-1},x_{k}]}

 

            A(f,P) = ∑_{k=1}ⁿm_{k}Δx_{k}=mΔx+mΔx+...+m_{n}Δx_{n}

             = 0(x-x)+0(x-x)+...

             = 0

            U(f,P) = ∑_{k=1}ⁿM_{k}Δx_{k}=MΔx+MΔx+...+M_{n}Δx_{n}

             = 1(x-x)+1(x-x)+...+1(x_{n}-x_{n-1})

             = -x+x_{n}=-a+b=b-a

 

 

Teorem. (Riemann Kriteri)

 

Reel değerli ve sınırlı bir f fonksiyonu; [a,b] aralığı üzerinde integrallenebilirdir.⇔∀ε>0 için [a,b] aralığının öyle bir P parçalanması vardır ki ;

 

            U(f,P)-A(f,P)<ε

 

 Riemann şartı (*)olur. P i (*) sağlayan bir parçalanma ise P nin tüm inceltilmiş ayrışımlarını verir. (*) sağlanır.

İspat. (Yeterlilik) ε>0 verilsin. (*) eşitliğinin sağlandığını varsayalım. Bu durumda;

 

            0≤∫_{a}^{b}f-∫_{a}^{b}f≤U(f,P)-A(f,P)<ε

 

 olur. Bu f nin [a,b] üzerinde integrallenebilir olduğunu gösterir. Yani;

 

            ∫_{a}^{b}f=∫_{a}^{b}f

 

 dir.

Not. ∫_{a}^{b}f≤∫_{a}^{b}f0≤∫_{a}^{b}f- ∫_{a}^{b}f olduğunu biliyoruz.

(Gereklilik) Tersine f, [a,b] üzerinde integrallenebilir olduğunu kabul edelim. ε>0 verilsin. [a,b] nin öyle P ve P parçalanmaları vardır. Öyle ki;

 

            U(f,P)-∫_{a}^{b}f  < (1/2)ε

            ∫_{a}^{b}f-A(f,P) < (1/2)ε

 

 P=P₁∪P diyelim. Bu durumda ;

 

            U(f,P)≤U(f,P)<∫_{a}^{b}f+(1/2)ε<A(f,P)+ε≤A(f,P)+ε

 

 olur. Bu yüzden

 

            U(f,P)-A(f,P)<ε

 

 sağlanır. Bu da (*) in sağlanması demektir. Ayrıca eğer T, P nin her hangi bir inceltilmişi ise önceki önteoremden

 

            0≤U(f,T)-A(f,T)≤U(f,P)-A(f,P)<ε

 

 olur. Bu da P nin her hangi bir inceltilmişi için (*) ın sağlandığını gösterir.

Gözlem. f sınırlı x≤f(x)≤M (x[a,b]) olacak şekilde m ve M sayıları vardır. Bu durumda [a,b] nin her P parçalanması için

 

            m(b-a)≤A(f,P)≤U(f,P)≤M(b-a)

 

 şeklindedir. Bundan dolayı alt toplamların bir infimumu, üst toplamların bir supremumu vardır.

 

            m_{k} = inf{f(x):x[x_{k-1},x_{k}]}

            M_{k} = sup{f(x):x[x_{k-1},x_{k}]}

            ξ_{k}  [x_{k-1},x_{k}],x_{k}^{*}[x_{k-1},x_{k}]

 

 olmak üzere n için

 

            ∑_{k=1}ⁿm_{k}Δx_{k}≤∑_{k=1}ⁿf(ξ_{k})Δx_{k}≤∑_{k=1}ⁿM_{k}Δx_{k}

 

 olup, dolayısıyla

 

            A(f,P)≤∑_{k=1}ⁿf(ξ_{k})Δx_{k}≤∑_{k=1}ⁿM_{k}Δx_{k}

 

 buradan P→0 için limite geçilerek,

 

            supA(f,P)≤lim_{P→0}∑_{k=1}ⁿf(ξ_{k})Δx_{k}≤∫_{a}^{b}f(x)dx

 

 O halde f, [a,b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon ise;

 

            ∫_{a}^{b}f(x)dx=lim_{P→0}∑_{k=1}ⁿf(ξ_{k})Δx_{k}

 

 olur.

 

            şekil

 

 

Tanım.

 

            R(f,P)=∑_{k=1}ⁿf(ξ_{k})Δx_{k}

 

 toplamına f nin P parçalanmasına karşılık gelen Riemann Toplamı denir.

Teorem. f ve g [a,b] de integrallenebilen fonksiyonlar olsunlar. 

(a) α,βR olmak üzere αf ve βg fonksiyonları da [a,b] de integrallenebilirdir ve

 

            ∫_{a}^{b}[αf(x)+βg(x)]dx=α∫_{a}^{b}f(x)dx+β∫_{a}^{b}g(x)dx

 

 dir.

(b) f≥0 ise

 

            ∫_{a}^{b}f(x)dx≥0

 

 dır.

(c) f≥0 ise

 

            √f

 

 integrallenebilirdir.

(d) |f| integrallenebilir ve

 

            |∫_{a}^{b}f(x)dx|≤∫_{a}^{b}|f(x)dx|

 

 dir.

(e) fg integrallenebilirdir.

İspat. (a) α=0 ve β=0 durumunda ispat açıktır.α≠0ve β≠0 kabul edelim. f ve g integrallenebilir olduğundan ε>0 için öyle bir P_{ε} parçalanması vardır ki PP_{ε} için

 

            |∑_{k=1}ⁿf(ξ_{k})Δx_{k}-∫_{a}^{b}f(x)dx| < (ε/(2|α|))

            |∑_{k=1}ⁿαf(ξ_{k})Δx_{k}-α∫_{a}^{b}f(x)dx| < (ε/2)

 

 ve

 

            |∑_{k=1}ⁿg(ξ_{k})Δx_{k}-∫_{a}^{b}g(x)dx| < (ε/(2|β|))

            |∑_{k=1}ⁿβg(ξ_{k})Δx_{k}-β∫_{a}^{b}g(x)dx| < (ε/2)

 

 dır.Böylece;

 

              |[∑_{k=1}ⁿαf(ξ_{k})Δx_{k}+βg(ξ_{k})Δx_{k}]-[α∫_{a}^{b}f(x)dx+β∫_{a}^{b}g(x)dx]|

             ≤ |∑_{k=1}ⁿαf(ξ_{k})Δx_{k}-α∫_{a}^{b}f(x)dx|+|∑_{k=1}ⁿβg(ξ_{k})Δx_{k}-β∫_{a}^{b}g(x)dx|

             < (ε/2)+(ε/2)=ε

 

 Bunun anlamı da

 

            [∫_{a}^{b}αf(x)+βg(x)]dx=α∫_{a}^{b}f(x)dx+β∫_{a}^{b}g(x)dx

 

 olduğudur.

(b)

 

            f  ≥ 0f(ξ_{k})Δx_{k}≥0   (k için)

              lim_{P→0}f(ξ_{k})Δx_{k}=∫_{a}^{b}f(x)dx≥0

 

 

(c) f integrallenebilirse ε>0 için öyle bir P parçalanması vardır ki P ve P den ince her parçalanma için

 

            U(f,P)-A(f,P)<ε²

 

 dır.

 

            <K1.1/>

 

<K1.1 ilk="TABLE" >

M_{k}=sup{√(f(x)):x[x_{k-1},x_{k}]}

m_{k}=inf{√(f(x)):x[x_{k-1},x_{k}]}

</K1.1>

 olmak üzere;

 

            A={k:M_{k}+M_{k}<ε},   B={k:M_{k}+M_{k}≥ε}

 

 olsun. Bu durumda;

 

            ∑_{kA}(M_{k}-M_{k})Δx_{k} ≤ ∑_{kA}(M_{k}+m_{k})Δx_{k}<ε∑_{kA}Δx_{k}

             ≤ ε∑_{k=1}ⁿΔx_{k}=ε(b-a)

            ∑_{kB}(M_{k}-M_{k})Δx_{k} = ∑_{kB}(M_{k}²-m_{k}²)Δx_{k}.(1/(M_{k}+m_{k}))

             ≤ (1/ε)∑_{kB}(M_{k}²-m_{k}²)Δx_{k}

             ≤ (1/ε)∑_{k=1}ⁿ(M_{k}²-m_{k}²)Δx_{k}

             = (1/ε)[U(f,P)-A(f,P)]<(1/ε).ε²=ε

 

 O halde sonuçta;

 

            U(√f,P)-A(√f,P) = ∑_{k=1}ⁿ(M_{k}-m_{k})Δx_{k}

             = ∑_{kA}(M_{k}-M_{k})Δx_{k}+∑_{kB}(M_{k}-M_{k})Δx_{k}

             < ε(b-a)+ε=ε(b-a+1)

 

 olur. Bunun anlamı da√f in integrallenebilir olduğudur.

(d) f integrallenebilir ise f² integrallenebilirdir. f²≥0 olduğundan √(f²)=|f| integrallenebilirdir.|f|+f≥0 olduğundan (b) den;

 

            ∫_{a}^{b}(|f(x)|+f(x))dx≥0

 

 Buradan;

 

            -∫_{a}^{b}f(x)dx≤∫_{a}^{b}|f(x)|dx-∫_{a}^{b}|f(x)|dx≤∫_{a}^{b}f(x)dx   #1

 

 elde edilir.|f|-f≥0 olacağından

 

            ∫_{a}^{b}(|f(x)|-f(x))dx≥0

 

 Buradan da;

 

            ∫_{a}^{b}f(x)dx≤∫_{a}^{b}|f(x)|dx   #2

 

 elde edilir.(1) ve(2) den

 

            |∫_{a}^{b}f(x)dx|≤∫_{a}^{b}|f(x)|dx

 

 

(e) f ve g integrallenebilir olduğundan (a) dan f-g ve f+g integrallenebilirdir.(a) dan ;

 

            (1/4)[(f+g)²-( f-g)²]

 

 integrallenebilirdir.Halbu ki;

 

            (1/4)[(f+g)²-( f-g)²]=fg

 

 olduğundan fg integrallenebilirdir.

 


KozanBilgi.Net 'Türkiyenin Bilgi Paylaşım Portalı'

Resimler Sadece üyeler içindir!

"Bende bir elma, Sende de bir elma varsa;
Ben sana bir elma verirsem, Sen de bana bir elma verirsen:
İkimizin de de birer elması olur.
Fakat, bende bir bilgi, Sende bir bilgi varsa;
Ben sana bir bilgi verirsem, Sen de bana bir bilgi verirsen:
Bende iki bilgi, Sende de iki bilgi olur!" [Konfiçyüs]

 

BİZ BATIDA ÇOCUKLARIMIZ İÇİN SAVAŞIRKEN,
BAZILARI DOĞUDA BİZİMLE SAVAŞSIN DİYE ÇOCUK YAPIYOR!..
BU ÜLKEYİ UCUZA ALMADIK BEDAVAYA DA VERMEYİZ !

 

TurkesManga
Site Kurucusu,
Gnl. Yayın Yönetmeni


Durumu Dışarıda
» Cevap Veren TurkesManga   

RİEMANN ANLAMINDA İNTEGRALLENEBİLEN BAZI FONKSİYONLARIN SINIFLARI

Teorem. [a,b] aralığında sürekli her fonksiyon bu aralıkta integrallenebilir.

İspat. Kapalı aralıkta sürekli her fonksiyon düzgün süreklidir.Öyleyse ε>0 için δ>0 vardır |x-x′|<δ|f(x)-f(x′)|<(ε/(b-a)) dır. [a,b] aralığınnP<δ şartını sağlayan bir P parçalanmasını göz önüne alırsak

 

            <K1.1/>

 

<K1.1 ilk="TABLE" >

M_{k}=sup{√(f(x)):x[x_{k-1},x_{k}]}

m_{k}=inf{√(f(x)):x[x_{k-1},x_{k}]}

</K1.1>

 olmak üzere ;

 

            M_{k}-m_{k}<(ε/(b-a))

 

 yazılabilir.

 

            U(f,P)-A(f,P) = ∑_{k=1}ⁿ(M_{k}-m_{k})Δx_{k}

             < (ε/(b-a))∑_{k=1}ⁿΔx_{k}

             = (ε/(b-a))(b-a)

             = ε

 

 elde edilir.(Riemann şartıdır)

 

            U(f,P)-A(f,P)<ε

 

 

Teorem. [a,b] üzerinde parçalı sürekli ve sınırlı her fonksiyon [a,b] üzerinde integrtallenebilirdir.

Teorem. f:[a,b]→R fonksiyonu monoton artan(veya azalan) ise f fonksiyonu [a,b] deRiemann anlamında integrallenebilir.

İspat. f fonksiyonu monoton artan olsun. f fonksiyonu sabit ise ispat aşikardır. f(b)-f(a)>0 ve ε<0 verilsin.[a,b] aralığının parçalanmasını P={x,x,...,x_{n}} olmak üzere;

 

            P<(ε/(f(b)-f(a)))

 

 olsun.

 

            <K1.1/>

 

<K1.1 ilk="TABLE" >

M_{k}=sup{√(f(x)):x[x_{k-1},x_{k}]}=f(x_{k-1})

m_{k}=inf{√(f(x)):x[x_{k-1},x_{k}]}=f(x_{k})

</K1.1>

 olacağından

 

            U(f,P)-A(f,P) = ∑_{k=1}ⁿ(M_{k}-m_{k})Δx_{k}

             = ∑_{k=1}ⁿ(f(x_{k})-f(x_{k-1}))Δx_{k}

             < (ε/(f(b)-f(a)))(f(x_{k})-f(x_{k-1}))

             = ε

 

 U(f,P)-A(f,P)<ε Riemann şartı sağlandığından integrallenebilirdir.

f monoton azalan ise -f monoton artar.

f=(-1)(-f) integrallenebilirdir.

f,g [a,b] integrallenebilir ise α,βR olmak üzere;αf,βg [a,b] aralığında integrallenebilirdir.

Tanım. f:[a,b]→R fonksiyonu sınırlı salınımlıdır.[a,b] nin her P parçalanması için

 

            ∑_{k=1}ⁿ|f(x_{k})-f(x_{k-1})|≤M

 

 kalacak şekilde M sayısı vardır.Supremum [a,b] nin tüm P parçalanması üzerinden alınmak üzere

 

            Sf(a,b)=sup∑_{k=1}ⁿ|f(x_{k})-f(x_{k-1})|

 

 genişletilmiş reel sayısına f in [a,b] aralığındaki total salınımı denir.Bu durumda Sf(a,b)<∞f fonksiyonu sınırlı tanımlıdır.

Teorem. f:[a,b]→R fonksiyonun sınırlı salınımlı olması için  iki monoton artan fonksiyonun farkı şeklinde yazılabilmesidir.

Sonuç. [a,b] aralığında sınırlı salınımlı her fonksiyon bu aralıkta Riemann integrallenebilirdir.

Örnek. ∫¹x²dx integralini hesaplayınız.

Çözüm.[0,1] aralığını eşit uzunluklu n parçaya bölelim. Bu durumda herbir alt aralığın boyu

 

            x_{k}=((b-a)/n)=(1/n)

 

 birim olur. Parçalanmanın noktaları ise x=0, x=(1/n), x=(2/n),...,x_{k}=(k/n),...,x_{n}=1 dir.

[x_{k-1},x_{k}]aralığındaki fonksiyonun en küçük değeri x_{k-1},en büyük değerini x_{k} noktasında alır.

 

            A(f,P) = ∑_{k=1}ⁿf(x_{k-1})Δx_{k}

             = ∑_{k=1}ⁿ(((k-1)/n))(1/n)

             = (1/(n³))∑_{k=1}ⁿk²-2k+1

             = (1/(n³))(1²+2²+...+(n-1)²)

             = (1/(n³))(((n-1)n(2n-1))/6)

             = (((n-1)(2n-1))/(6n²))

 

 elde edilir.

 

            U(f,P) = ∑_{k=1}ⁿf(x_{k})Δx_{k}=∑_{k=1}ⁿ((k/n))²(1/n)=(1/(n³))∑_{k=1}ⁿk²

             = (1/(n³))((n(n+1)(2n+1))/6)

             = (((n+1)(2n+1))/(6n²))

 

 Açıklama.(((n-1)(2n-1))/(6n²))≤R(f,P)≤(((n+1)(2n+1))/(6n²)),lim_{P→0}∑f(β_{k})Δx_{k} P→0 düzgün n→∞

 

            lim_{n→∞}(((n-1)(2n-1))/(6n²)) ≤ lim_{n→∞}R(f,P)≤lim_{n→∞}(((n+1)(2n+1))/(6n²))

            (1/3) ≤ ∫_{a}^{b}f(x)dx≤(1/3)

            ∫_{o}¹x²dx  = (1/3)

 

 Teorem. (İntegral Hesabın Temel Teoremi)

f [a,b] üzerinde integrallenebilen bir fonksiyon olsun. x [a,b] için ;

 

            F′(x)=f(x)

 

 olacak şekilde bir F:[a,b]→R fonksiyonu varsa;

 

            ∫_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

 

 dır. Bu eşitliğe Newton Leibnitz formülü denir.

İspat. [a,b] aralığının her hangi bir parçalanması P={x,x,...,x_{n}} olsun. Diferansiyel hesabının ortalama değer teoremi gereğince (a,b) türevlenebilir, [a,b] sürekli olduğundan;

 

            f′(x)=((f(b)-f(a))/(b-a))

 

 x(a,b) için f′(x) vardır.

 

            F′(ξ_{k})=((F(x_{k})-F(x_{k-1}))/(x_{k}-x_{k-1}))

 

 olacak şekilde ξ_{k}(x_{k-1},x_{k}) noktası vardır. Hipotezden

 

            F′(x)=f(x)

 

 olduğundan her bir k=1,...,n , için;

 

            F(x_{k})-F(x_{k-1})=f(ξ_{k})Δx_{k}

 

 olduğundan ξ_{k}(x_{k-1},x_{k}) vardır. Buradan;

 

            ∑_{k=1}ⁿF(x_{k})-F(x_{k-1})=∑_{k=1}ⁿf(ξ_{k})Δx_{k}

 

 x=a , x=b yazılırsa ;

 

            F(b)-F(a)=∑_{k=1}ⁿf(ξ_{k})Δx_{k}

 

 f integrallenebilir olduğundan P→0 için sağdaki toplam f nin [a,b] aralığındaki integraline eşittir. Sol taraf ise P parçalanmasından bağımsızdır. O halde;

 

            F(b)-F(a)=∫_{a}^{b}f(x)dx

 

 Gösterim. x(a,b) için F′(x)=f(x) ise;

 

            ∫_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)

 

 olur.

Tanım. İntegralenebilen f:[a,b]→R fonksiyonu için

1. ∫_{a}^{b}f(x)dx=0

2. ∫_{a}^{b}f(x)dx=-∫_{b}^{a}f(x)dx

Teorem. f,[a,b] de integrallenebilen bir fonksiyon olsun.

1.İntegralin değeri integrasyon değişkeninden bağımsızdır.Yani;

 

            ∫_{a}^{b}f(x)dx=∫_{a}^{b}f(t)dt=...=∫_{a}^{b}f(z)dz

 

 ve

2. c[a,b] için;

 

            ∫_{a}^{b}f(x)dx=∫_{a}^{c}f(x)dx+∫_{c}^{b}f(x)dx

 

 Örnek. ∫^{(π/2)}cos^{(3/2)}xsin xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.

 

            F(x) =  ∫^{(π/2)}cos^{(3/2)}xsin xdx=-(2/5)cos^{(5/2)}x

             = F(x)|^{(π/2)}=-(2/5)cos^{(5/2)}(π/2)+(2/5)cos^{(5/2)}0

             = (2/5)

 

 Uyarı 1. İntegral değişken değiştirme metoduyla hesaplanacaksa değişkenler değiştirilirken, eski değişkene dönmek istenmiyorsa, integrasyon sınırlarının yeri değişkene göre ayarlamak gerekir.

Örnek. ∫^{(π/2)}((cos x)/(1+sin²x))dx integralini hesaplayalım.

Çözüm. [

 

sin x=ucos xdx=du

x=0,u=0,x=(π/2),u=1

]

 

            ∫^{(π/2)}((cos x)/(1+sin²x))dx  = ∫¹((du)/(1+u²))=arctan u|¹

             = arctan1-arctan0

             = (π/4)

 

  Örnek. ∫^{π}xcos xdx integralini hesaplayalım.

Çözüm.[

 

u=xdu=dx

cos xdx=dvv=sin x

]

 

            ∫^{π}xcos xdx  = xsin x|¹- ∫^{π}sin xdx

             = cosπ-cos0

             = -2

 

 Teorem.

    benzer şekilde x=u(y) eğrisi; y=c,y=d doğruları ile y ekseni tarafından sınırlanan düzlemsel bölgenin alanı;

 

              şekil

            A  = ∫_{c}^{d}|u(y)|dy

 

olacaktır.

Örnek. y=x² eğrisi x=4,x=7 doğruları ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm.

 

            şekil

 

şekilden de görüleceği üzere;

 

            A=∫₄⁷x²dx=((x³)/3)|₄⁷=((7³)/3)-((4³)/3)=93

 

Örnek. -πden π ye kadar y=sin x ve x ekseniyle sınırlı bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm.

 

            şekil

 

şekilden de görüleceği üzere;

 

            A  = ∫_{-π}^{π}sin xdx=∫_{-π}-sin xdx+∫^{π}sin xdx

             = cos x|_{-π}-cos x|^{π}

             = cos0-cos(-π)-cos(π)+cos0

             = 4

 

Örnek. Dördüncü bölgede y=x³-3x eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm. [

 

y=x³-3xy=0 için x=0,x=√3,x=-√3

y′=03x²-3x=0x=1,x=-1,y=±2

]

 

            şekil

 

şekilden de görüleceği üzere;

 

            ∫^{√3}-(x³-3x)dx  = -∫^{√3}(x³-3x)dx

             = -[((x)/4)-((3x²)/2)]|^{√3}

             = (9/4)

 

Örnek. y=x²-4x+3 eğrisi x=2, x=4 doğruları ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm. [

 

y=x²-4x+3y=0 için x=3,x=1

y′=02x-4=0x=2,y=-1

]

 

            şekil

 

şekilden de görüleceği üzere;

 

            ∫³-f(x)dx+∫₃⁴f(x)dx  = ∫³(-x²+4x-3)dx+∫₃⁴(x²-4x+3)dx

             = -((x³)/3)+2x²-3x|³+((x³)/3)-2x²+3x|₃⁴

             = (2/3)+(4/3)

             = 2

 

Örnek. y=x³ eğrisi y=1,y=8 doğruları ve y ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm. [y=x³x=y^{(1/3)}]

 

            şekil

 

şekilden de görüleceği üzere;

 

            ∫₁⁸y^{(1/3)}dy=(3/4)y^{(4/3)}|₁⁸=(3/4)(8^{(4/3)}-1^{(4/3)})=((45)/4)

 

Ödev. y=(1/x) eğrisi x=1,x=e doğruları ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

 

            IKI EGRI ARASINDA KALAN ALANIN HESABI

 

 f ve g [a,b] aralığında sürekli iki fonksiyon ve P de [a,b] nin bir parçalanması olsun.y=f(x),y=g(x) eğrileriyle x=a,x=b doğruları arasında kalan alan yaklaşık olarak;x_{k}^{*}[x_{k-1},x_{k}] olmak üzere;

 

            A∑_{k=1}ⁿ|f(x_{k}^{*})-g(x_{k}^{*})|Δx_{k}

 

ise;

 

            A=∫_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx

 

Bunun anlamı;

 

            f(x)-g(x)≥0

 

olacak şekilde gözlem yapılacak demektir.Yani;

 

            |f(x)-g(x)|={<K1.1/>

 

<K1.1 ilk="MATRIX" >

f(x)-g(x)           ,           f(x)≥g(x)

g(x)-f(x)           ,           f(x)≤g(x)

</K1.1>

Not. İki eğri arasındaki alan bulunurken üstteki eğriden çıkarılır.

 

            A=∫_{a}^{b}(Ust-Alt)dx

 

Örnek. y=3x-x³ eğrisiyle y=x doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm. [3x-x³=x2x=x²x=±√2,x=0] eğrilerin kesim noktası olmak üzere;

 

            şekil

 

şekilden de görüleceği üzere;

 

            A  = ∫_{-√2}(x-3x+x³)dx+∫^{√2}(3x-x³-x)dx

             = (((x²)/2)-3((x²)/2)+((x)/4))|_{-√2}+(3((x²)/2)-((x)/4)-((x²)/2))|^{√2}

             = -(1-3+1)+(3-1-1)

             = 1+1

             = 2

 

Örnek. y=√x y=2√x eğrileri ile y=x doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm.

 

 y=√x   y=x      ⇒         √x=x,x=1,y=1

y=2√x  y=x      ⇒         2√x=x,x=4,y=4

 

            şekil

 

Açıklama.

 I. bölgede üst eğri y=2√x

I. bölgede alt eğri y=√x

II. bölgede üst eğri y=2√x

II. bölgede alt eğri y=x

 

            A  = ∫¹(2√x-√x)dx+∫₁⁴(2√x-x)dx

             = (2/3)x^{(3/2)}|¹+((4/3)x^{(3/2)}-((x²)/2))|₁⁴

             = (2/3)+[(((32)/3)-8)-((4/3)-(1/2))]

             = (2/3)+(8/3)-(5/6)

             = ((15)/6)

             = (5/2)

 

Not. Benzer şekilde h ve k fonksiyonları [c,d] üzerinde sürekli fonksiyon ise; x=h(y), x=k(y) eğrileri ile y=c, y=d doğruları arasında kalan bölgenin alanı ;

 

            A=∫_{c}^{d}|h(y)-k(y)|dy

 

integrali hesaplanırken sağdaki eğriden soldaki eğri çıkartılmalıdır. Bu durumda mutlak değere ihtiyaç kalmaz.;

 

            A=∫_{c}^{d}(x_{sag}-x_{sol})dy

 

Örnek. x=2y doğrusuyla x=8-y² eğrisi arasında bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm.

 

x=8-y² ,           x=2y

8-y²=2y           ⇒         y²-2y-8=0

y=-4    ,           y=2

x=-8    ,           x=4

 

            şekil

 

şekilden de görüleceği üzere;

 

            ∫₋₄²(8-y²-2y)dy  = (8y-((y³)/3)-y²)|₋₄²

             = (16-(8/3)-4)-(-32+((64)/3)-16)

             = ((28)/3)+((80)/3)

             = ((108)/3)

             = 36

 

 

              PARAMETRIK DENKLEMLERI VERILEN EGRILERIN

              SINIRLADIGI BOLGELERIN ALANLARI

 

 x=g(t) ve y=h(t) parametrik denklemleriyle verilen bir c eğrisi x=a , x=b doğruları x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanı ;

 

            A=∫_{a}^{b}|y|dx=∫_{t}^{t}|h(t)|g′(t)dt

 

Burada t ve t sırasıyla t nin a ve b ye karşılık gelen değerleridir. Benzer şekilde y=c, y=d doğruları ve y ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanı;

 

            A=∫_{a}^{b}|x|dy=∫_{t}^{t}|g(t)|h′(t)dt

 

Örnek. x=acos t, y=bsin t parametrik denklemleriyle verilen elipsin (elips tarafından çevrelenen bölgenin)alanını bulunuz. 

Çözüm.

 

x=0      iccin     t=(π/2)

x=a      iccin     t=0

 Önce elipsin (1/4) ünün alanını bulalım.

 

            şekil

 

şekilden de görüleceği üzere;

 

            ∫_{(π/2)}b|sin t|(-asin t)dt  = ab∫_{(π/2)}sin²tdt

             = ab∫_{(π/2)}(((1-cos2t)/2))

             = ((ab)/2)(t-(1/2)sin2t)|^{(π/2)}

             = ((πab)/4)

 

 

            HACIM HESABI

 

 1.Kesit Yöntemi. Üç boyutlu uzayda bir D cisminin [a,b] üzerinde yerleştirilmiş ve bu aralıktaki her bir x noktasından x eksenine dik olan düzlemle arakesitinin A(x) düşünelim

 

            şekil

 

A(x), x in sürekli bir fonksiyonudur.P={x,x,...,x_{n}} de [a,b] nin bir parçalanması, x_{k}^{*} da [x_{k-1},x_{k}] nın her hangi bir noktası olsun. x_{k}^{*} noktasından x eksenine dik olarak çizilen düzlemlerD cismini n parçaya böler.Her parçacığın hacmi yaklaşık olarak A(x_{k}^{*}) kesit alanı ile Δx_{k} yüksekliğinin çarpımına eşittir. Dolayısıyla D bölgesinin V hacmi için:

 

            V∑_{k=1}ⁿA(x_{k}^{*})Δx_{k}

 

yazılabilir. Burada;

 

            V=lim_{P→0}∑_{k=1}ⁿA(x_{k}^{*})Δx_{k}=∫_{a}^{b}A(x)dx

 

Örnek.

 

            şekil

 

Tabanı bir kenarı b birim olan bir kare ve yüksekliği h birim olan piramidin hacmini bulunuz.

Çözüm.

 

            şekil

 

Piramidi yukarıdaki şekilde olduğu gibi x ekseni üzerinde [0,h] na yerleştirelim. cismin x eksenine dik düzlemlerle arakesiti birer kaeredir. Apsisi x olan noktaki kesitin bir kenarı t birim olsun.

 

 

(t/b)=(x/h)                   t=((bx)/h)

A(x)=t²            ⇒         t²=((b²x²)/(h²))

 

            V=∫^{h}A(x)dx=∫^{h}((b²x²)/(h²))dx=((b²h)/3)

 

Örnek. a yarıçaplı bir kürenin hacmini hesaplayınız.

Çözüm.

 

            şekil

 

Kürenin merkezinden x birim uzaklıktaki dik kesitin alanı A(x) olsun.Bu kesit daire olup A(x)=πr² dir.

 

            A(x)=πr²=π(a²-x²)

 

birimdir.

 

            V=2∫^{a}A(x)dx=2∫^{a}π(a²-x²)dx=2π(a²x-((x³)/3))|^{a}=(4/3)πa

 

Örnek. Bir cismin tabanı r yarıçaplı dairedir.

 

            şekil

 

Kürenin merkezinden x birim uzaklıktaki dik kesitin alanı A(x) olsun. Bu kesit daire olup

 

            A(x)=πr²

 

dir.

 

            A(x)=πr²=π(a²-x²)

 

birimdir.

 

            V=2∫A(x)dx=2∫^{a}π(a²-x²)dx=2π(a²x-((x³)/3))|^{a}=((4πa³)/3)

 

Örnek. Bir cicmin tabanı r yarıçaplı dairedir.Cismin tabanını dik düzlemlerle arakesiti daireler olduğuna göre cismin hacmini bulunuz.

 

            şekil

 

Çözüm. Orjine yerleştirdiğimizi düşünürsek x noktası yarı dairenin yarıçapı √(r²-x²) olacaktır.

 

            A(x)=(1/2)π(r²-x²)

 

olduğuna göre

 

            V  = ∫_{-r}^{r}A(x)dx

             = ∫_{-r}^{r}((1/2)π(r²-x²))dx

             = (1/2)π(r²x-((x³)/3))|_{-r}^{r}

             = 0

 

Eğer hacmi istenen cismin y eksenine dik kesitlerin alanı biliniyorsa [c,d] aralığına yerleştirilen cismin hacmi

 

            V=∫_{c}^{d}A(y)dy

 

olur.

Örnek.

 

            şekil

 

Yukarıda verilen şekilde y eksenine dik düzlemlerle rar kesitleri birer yarım dairedir.Bu cismin hacmini bulunuz.

Çözüm. Ordinatı y olan noktaki kesitin alanı A ya eşittir.

 

            A(y) = (1/2)πx²

             = (1/2)π(y²)²

             = (1/2)πy

 

olacağından cismin hacmi

 

            V=∫¹((1/2)πy)dy=(π/(10))

 

Disk Yöntemi.


KozanBilgi.Net 'Türkiyenin Bilgi Paylaşım Portalı'

Resimler Sadece üyeler içindir!

"Bende bir elma, Sende de bir elma varsa;
Ben sana bir elma verirsem, Sen de bana bir elma verirsen:
İkimizin de de birer elması olur.
Fakat, bende bir bilgi, Sende bir bilgi varsa;
Ben sana bir bilgi verirsem, Sen de bana bir bilgi verirsen:
Bende iki bilgi, Sende de iki bilgi olur!" [Konfiçyüs]

 

BİZ BATIDA ÇOCUKLARIMIZ İÇİN SAVAŞIRKEN,
BAZILARI DOĞUDA BİZİMLE SAVAŞSIN DİYE ÇOCUK YAPIYOR!..
BU ÜLKEYİ UCUZA ALMADIK BEDAVAYA DA VERMEYİZ !

 

TurkesManga
Site Kurucusu,
Gnl. Yayın Yönetmeni


Durumu Dışarıda
Bu konuda 1 Sayfa 3 Cevap Var
» Son Konular İstatistik Forumda Ara
Türk Eğitim Sen Yeni İlçe Milli Eğitim Müdürü Faru...
Bizleri Yönetecekleri EHİL İnsanlardan Seçelim....
Meryem Anamızın Aslında Evli Olduğunu Söyleyen.......
DGS sonuçları açıklandı...
6 polis için flaş karar...
Üst Kategori (13)
Alt Kategori (160)
Konular (29958)
Cevaplar (3876)
Toplam Adettir

Başlık : Konu : Cevap :
» Bugün Giren Üyeler : 0
|#Genel Sorumlu|@Site Yöneticisi|*Bölüm Editörü|+Forum Editörü|!Sohbet Editörü|Gezici Üye|Normal Üye|Hevesli Üye|Azimli Üye|
|Çalışkan Üye|Verimli Üye|Bağımlı Üye|Abone Üye|Tiryaki Üye|Yıldız Üye|Bilgin Üye|Prof Üye|Üstad Üye|Süper Üye|Altın Üye|Ulu Üye|
» CopyrightYukarı Git
2oo6-2o14 © KozanBilgi.Net - Türkiye'nin Bilgi Paylaşım Portalı
KozanBilgi.Net © Türkeş Manga Tarafından Kurulmuştur. Bu sitede yer alan bilgiler KozanBilgi.Net adresi kaynak gösterilmeden kullanılamaz. Tüm hakları Telif Hakları Yasası'nca korunmaktadır.
ÖNEMLİ NOT: Sitemizde, 5651 Sayılı Kanunun 8. Maddesine ve T.C.K'nın 125. Maddesine Göre, Tüm Üyelerimiz Yazdıkları Mesajlar ve Konulardan Kendileri Sorumludur.
Sitemizde bulunan bir içeriğin, kanunlara aykırı olduğunu veya yanıltıcı olduğunu düşünüyorsanız lütfen bize bildiriniz. İletişim Adresimiz : turkesmanga@windowslive.com
sanalbasin.com üyesidir